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RECHERCHES

comme il suit : $(a,b,-a')$, $(-a',b',a'')$, $(a'',b'',-a'')$, etc. $(-'a,'b,c)$, $(''a,''b,-'a)$, $(-''a,''b,''a)$, etc. tous les nombres $a$, $a'$, $a''$, $a'''$, etc. $'a$, $''a$, $'''a$, etc. auront le même signe (n^o 184 —1^o.), et les nombres $b$, $b'$, $b''$, $b'''$, etc. $'b$, $''b$, etc. seront nécessairement positifs.

2^o . Il suit de là que le nombre $n$ des formes de la période est toujours pair ; car le premier terme d’une forme quelconque $F^{n}$ de cette période, aura évidemment le même signe que le premier terme de la forme $F$ si $m$ est pair, et le signe contraire si $m$ est impair ; or $F$ et $F^{n}$ sont identiques, donc $n$ est un nombre pair.

3^o . Dans le calcul indiqué (n^o 184—6^o .), pour trouver les différentes formes $F$, $F'$, $F''$ etc., au lieu des expressions

$a''$	$={\frac {D-b'^{2}}{a'}}$,
$a'''$	$={\frac {D-b''^{2}}{a''}}$,
$a^{IV}$	$={\frac {D-b'''^{2}}{a'''}}$,
etc.

on peut substituer les suivantes, qui sont plus commodes, lorsque $D$ est un grand nombre, et qui s’en déduisent facilement :

$a''$	$=$	${\frac {(b+b')(b-b')}{a'}}$	$+a$,
$a'''$	$=$	${\frac {(b'+b'')(b'-b'')}{a''}}$	$+a'$,
$a^{IV}$	$=$	${\frac {(b''+b''')(b''-b''')}{a'''}}$	$+a''$,
etc.

4^o . Une forme quelconque $F^{n}$ contenue dans la période de $F$ conduit à la même période qu’elle ; ensorte que la période de cette forme sera $F^{n}$, $F^{n+1}$…$F^{n-1}$, $F$, $F'$, … $F^{n-1}$, dans laquelle les mêmes formes reviennent dans le même ordre, et qui ne diffère de la première que par le commencement et la fin.

5^o . Il suit de là que toutes les formes réduites de même déterminant $D$ peuvent être distribuées en périodes. On prendra une quelconque $F$ de ces formes, et l’on cherchera sa période que nous désignerons par $P$. Si $P$ ne renferme pas toutes les formes réduites dont le déterminant est $D$, soit $G$ une des formes qui n’y est pas contenue, et $Q$ sa période, il est clair que $P$ et $Q$ n’ont aucune forme commune, car autrement $G$ serait contenue dans $P$ et les périodes coïncideraient. Si $P$ et $Q$ n’épuisent pas encore toutes les formes réduites, une de celles qui y manquent fournira une troisième période $R$, qui n’aura aucune forme commune avec $P$ et $Q$, et ainsi de suite, jusqu’à ce que toutes les