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ARITHMÉTIQUES.
une d’elles et à une seule. Il suit évidemment de là, que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il y a de périodes, en renfermant dans la première
toutes celles qui sont proprement équivalentes à , dans la seconde,
toutes celles qui sont proprement équivalentes à , etc. Ainsi
toutes les formes renfermées dans la même classe, seraient proprement équivalentes, mais deux formes prises dans des classes
différentes ne le seront pas. Au reste nous n’insisterons pas davantage ici sur ce sujet, que nous expliquerons plus bas avec détail.
196. Problème. Étant données deux formes et proprement équivalentes, trouver une transformation propre qui change l’une en l’autre.
Par la méthode du no 183, on peut trouver deux suites de
, … , , , … , telles que chacune des formes
soit équivalente à celle qui la précède, et que les dernières
et soient des formes réduites ; et comme et sont supposées
équivalentes, doit se trouver dans la période de . Soit
et sa période prolongée jusqu’à la forme : , , , ……, ,
desorte que ; et désignons par , , …
les formes opposées (no 159) aux associées des formes , , …, respectivement ; alors dans la suite chaque forme est contiguë par la
dernière partie à celle qui la précède ; d’où, par le no 177, on
pourra trouver une transformation de la première en la dernière . Cette liaison entre les formes est évidente depuis jusqu’à
, et depuis jusqu’à . Quant aux formes et ,
on la prouvera comme il suit : soit ; , . La forme sera contiguë
par la dernière partie à chacune des formes , ;
ainsi , et ; donc la forme
est contiguë par la dernière partie à la
forme .
Si les formes et sont improprement équivalentes, la forme
sera proprement équivalente à la forme dont est l’opposée ; ainsi
on pourra trouver une transformation de en cette forme ; et si
elle se fait par la substitution , , , , on voit facilement
A a