peuvent sans peine se démontrer par-là ; mais chacun en sentira la vérité au premier aspect.
Nous désignerons dorénavant la congruence de deux nombres par ce signe en y joignant, lorsqu’il sera nécessaire, le module renfermé entre parenthèses ; ainsi [1].
3. Théorème. Soient nombres entiers successifs et un autre un des premiers sera congru avec suivant le module et il n’y en aura qu’un.
En effet, si est entier, on aura s’il est fractionnaire, soit le nombre entier, immédiatement plus grand ou plus petit, suivant que sera positif ou négatif, en ne faisant point d’attention au signe, tombera nécessairement entre et ce sera donc le nombre cherché. Or il est évident que les quotiens etc., sont compris entre et , donc un seul d’entr’eux peut être entier.
4. Il suit de là que chaque nombre aura un résidu, tant dans la suite que dans celle-ci nous les appellerons résidus minima ; et il est clair qu’à moins que ne soit résidu, il y en aura toujours deux, l’un positif, l’autre négatif. S’ils sont inégaux, l’un d’eux sera s’ils sont égaux, chacun d’eux sans avoir égard au signe ; d’où il suit qu’un nombre quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module, et que nous appellerons résidu minimum absolu.
Par exemple suivant le module , a pour résidu minimum
- ↑ Nous avons adopté ce signe à cause de la grande analogie qui existe entre l’égalité et la congruence. C’est pour la même raison que Legendre, dans des mémoires que nous aurons souvent occasion de citer, a employé le signe même de l’égalité, pour désigner la congruence ; nous en avons préféré un autre, pour prévenir toute ambiguïté.
