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RECHERCHES

en $ff'$, et de $\varphi$ en $Ff''$. Mais on trouvera absolument de la même manière, par les transformations de $F'$ en $ff''$ et de $\varphi '$ en $F'f'$, la transformation de $\varphi '$ en $ff'f''$ :

$t'=\rho xx'x''+\rho 'xx'y''+{\text{etc.}}\quad u'=\sigma xx'x''+\sigma 'xx'y''+{\text{etc.}}$

On en tirera, comme plus haut, vingt-huit équations que nous désignerons par Θ’, et neuf que nous désignerons par Ψ’. Or sans faire le calcul, il est aisé de voir que les équations Θ’ auront les mêmes seconds membres que les équations Θ, et que les équations Ψ’ ne différeront des équations Ψ que par l’accent de $G$, $H$, $L$. Donc, puisque tous les nombres $rs'-r's$, etc., n’ont point de commun diviseur, on pourra, par le lemme du n^o 234, trouver quatre nombres entiers $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ tels que l’on ait

$\alpha \rho +\beta \sigma =r,\quad \alpha \rho '+\beta \sigma '=r',\quad \alpha \rho ''+\beta \sigma ''=r'',\quad {\text{etc.}}$

$\gamma \rho +\delta \sigma =s,\quad \gamma \rho '+\delta \sigma '=s',\quad \gamma \rho ''+\delta \sigma ''=s'',\quad {\text{etc.}}\quad {\text{et}}\quad \alpha \delta -\beta \gamma =1$

VII. De là, en substituant les valeurs de $aG$, $aH$, $aL$ tirées des trois premières équations Ψ, et les valeurs de $aG'$, $aH'$, $aL'$ tirées des trois premières équations Ψ’, on s’assure aisément que l’on a

$a\left(G\alpha ^{2}+2H\alpha \gamma +L\gamma ^{2}\right)$	$=aG'$,
$a\left(G\alpha \beta +H(\alpha \delta +\beta \gamma )+L\gamma \delta \right)$	$=aH'$,
$a\left(G\beta ^{2}+2H\beta \delta +L\delta ^{2}\right)$	$=aL'$ ;

$\alpha \rho +\beta \sigma =r,\quad \alpha \rho '+\beta \sigma '=r',\quad \alpha \rho ''+\beta \sigma ''=r'',\quad {\text{etc.}}$d’où il suit, si l’on n’a pas $a=0$, que la forme $\varphi$ se change en $\varphi '$ par la substitution propre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$.

Mais en prenant, au lieu des trois premières équations de Ψ et Ψ', les trois suivantes ou les trois dernières, on obtiendra trois équations qui ne différeront des précédentes que parcequ’il y aura $2b$ ou $c$ à la place de $a$, et comme on ne peut avoir à-la-fois $a$, $b$, $c=0$, la forme $\varphi$ se changera nécessairement en $\varphi '$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$.

241. Une forme telle que $\varphi$ ou $\varphi '$, qui naît de la composition avec une troisième, d’une forme composée de deux autres, sera dite composée de ces trois formes, et par le n^o précédent, on voit qu’il n’importe pas dans quel ordre se fait la composition. On voit que de cette manière on composera une forme d’autant d’autres formes qu’on voudra, et l’on démontrerait facilement que l’ordre dans lequel ces formes sont composées est indifférent, c’est-à-dire,