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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/298

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RECHERCHES

trouver des formes équivalentes à , et dont les premiers termes jouissent de cette propriété. Car (no 228) on peut trouver des nombres premiers à , et représentables par cette forme ; or soit un tel nombre, on aura , où l’on peut supposer que , soient premiers entre eux ; partant, on pourra déterminer deux nombres tels qu’on ait , et la forme se changera, par la substitution , , , , en une forme qui lui sera proprement équivalente et jouira de la propriété précitée. Maintenant, comme et sont équivalentes, on voit qu’il suffit de considérer le cas où est premier avec . Alors sera une forme proprement primitive, car si , et avaient un diviseur commun, il diviserait nécessairement  ; elle sera de même déterminant que , et l’on s’assurera facilement que se change par la substitution , , , , , , , , en le produit de la forme , par , qui sera la plus simple de l’ordre , à moins que la forme ne soit négative. Il suit de là, par la quatrième conclusion du no 235, que est composée de et  ; mais quand est négative, elle se changera, par la substitution , , ,  ; , , , , en le produit de la forme , qui est la plus simple de cet ordre, par la forme positive , et parconséquent elle sera composée de ces deux formes.

2o. Si est une forme improprement primitive, ou peut supposer que soit premier avec , car si cette propriété n’a pas lieu pour la forme , on trouvera toujours une forme qui en jouisse et qui soit proprement équivalente à Il suit de là que la forme est une forme proprement primitive de même déterminant que  ; on s’assurera aussi facilement que se change, par la substitution , , ,  ; , , , , en le produit des formes , , et que parconséquent elle est composée de ces deux formes, dont la première est la plus simple de l’ordre , et la seconde une forme proprement primitive positive. Les signes inférieurs doivent être pris quand est une forme négative, et les signes supérieurs dans les autres cas.