, , , , , , , ; pour les cinquante-huit autres, le second cas a lieu, c’est-à-dire qu’il y a le même nombre de classes dans l’un et l’autre ordre.
VII. Il est presque superflu d’observer que non-seulement par la recherche précédente, on peut comparer les nombres de classes des ordres différens de même déterminant, mais qu’elle est applicable à tous les déterminans différens qui sont entre eux comme des nombres quarrés ; savoir, si est un ordre quelconque de déterminant , un ordre de déterminant , pourra être comparé avec l’ordre proprement primitif de déterminant , celui-ci avec l’ordre dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant , ou, ce qui revient au même pour le nombre de classes, avec ce dernier lui-même ; et par une raison semblable, l’ordre pourra être comparé avec le même.
257. Parmi toutes les classes d’un ordre et d’un déterminant donné, les classes ambiguës demandent un plus grand développement, et la détermination de leur nombre nous conduira à beaucoup de résultats intéressans. Or il suffit de chercher ce nombre pour l’ordre proprement primitif, puisque les autres s’y ramènent facilement. Nous y parviendrons en trouvant d’abord toutes les formes ambiguës proprement primitives de déterminant , dans lesquelles ou , et en déduisant ensuite de leur nombre celui de toutes les classes ambiguës proprement primitives.
1o. Toutes les formes proprement primitives de déterminant , se trouvent évidemment en prenant pour tous les diviseurs de , positifs et négatifs, pour lesquels est premier avec . Ainsi quand , il y a deux formes de cette espèce : , ; il y en a autant quand , savoir, , . Quand est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier avec le signe ou le signe , il y a quatre formes
Généralement, quand D est divisible par n nombres premiers,
il y a formes de ce genre ; en effet, soit ,
