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RECHERCHES

$\mathrm {abc}$ etc. est une puissance parfaite $\mathrm {k^{n},}$ chaque nombre $\mathrm {a,\ b,\ c,}$ etc. est une puissance semblable.

Soit $a=l^{\lambda }m^{\mu }p^{\pi }{\text{etc.}},\ l,\ m,\ p,\ {\text{etc.}}$ étant des nombres premiers différens, dont aucun par hypothèse ne divise les nombres $b,\ c,\ {\text{etc}}.,$ puisque le produit $abc\ {\text{etc}}.$ est divisible par $l^{\lambda }m^{\mu }p^{\pi }\ {\text{etc.}},$ on se convaincra, comme dans l’article précédent, que $\lambda ,\ \mu ,\ \pi ,\ {\text{etc}}.$ sont divisibles par $n,$ et partant que ${\sqrt[{n}]{a}}$ est entier. Il en sera de même pour $b,\ c,\ {\text{etc.}}$

Après ces notions nécessaires sur les nombres premiers, nous allons nous occuper de ce qui peut nous conduire plus directement à notre but.

22. Si les nombres $\mathrm {a}$ et $\mathrm {b}$ divisibles par $k$ sont congrus suivant le module $m$ premier avec $\mathrm {k,\ {\frac {a}{k}}\ et{\frac {b}{k}}}$ sont congrus suivant le même module.

En effet $a-b$ est évidemment divisible par $k,$ et, suivant l’hypothèse, par $m\ ;$ donc ${\frac {a-b}{k}}$ sera divisible par $m$ (19), c’est-à-dire, que ${\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}.$

Mais si, toutes choses d’ailleurs égales, $m$ et $k$ ont un diviseur commun $e,$ on aura ${\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {\frac {m}{e}}}\ ;$ car ${\frac {k}{e}}\ et\ {\frac {m}{e}}$ sont premiers entr’eux ; mais $a-b$ est divisible par $k$ et par $m\ ;$ donc ${\frac {a-b}{e}}$ est divisible par ${\frac {k}{e}}$ et par ${\frac {m}{e}}$ et par conséquent par ${\frac {mk}{e^{2}}}\ ;$ c’est-à-dire que ${\frac {a-b}{k}}$ est divisible par ${\frac {m}{e}},$ ou que ${\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {\frac {m}{e}}}.$

23. Si $\mathrm {a}$ est premier avec $\mathrm {m,}$ que $\mathrm {e}$ et $\mathrm {f}$ soient des nombres incongrus suivant le module $\mathrm {m,}$ $\mathrm {ae}$ et $\mathrm {af}$ seront aussi incongrus.

Cette proposition est l’inverse de celle du n^o précédent.

Il est évident d’après cela, que si l’on multiplie $a$ par tous les nombres entiers, depuis $0$ jusqu’à $m-1,$ et qu’on cherche les restes minima des produits, suivant le module $m,$ ils seront tous inégaux ; mais le nombre de ces résidus est $m,$ et comme aucun d’eux n’est $>m,$ ils se trouveront tous dans la série depuis $0$ jusqu’à $m.$