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RECHERCHES
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, |
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avec cette différence que l’on doit employer les six colonnes lorsque
; la première et la seconde, quand ; la première
et la troisième, quand ; la première et la sixième, quand
; enfin la première seule, quand , , sont tous inégaux,
et il y aura dans le premier cas quarante-huit transformations,
seize dans le second, le troisième et le quatrième, et huit dans
le cinquième.
Après avoir exposé succinctement les premiers élémens des formes
ternaires, nous allons passer à quelques applications particulières,
parmi lesquelles le problème suivant mérite la première place.
286. Problème. Étant donnée une forme binaire de déterminant appartenant au genre principal, trouver une forme binaire qui donne par sa duplication.
1o. On cherchera une représentation propre de la forme
par la forme ternaire ; supposons
qu’elle soit
,
——,
——
Il est aisé de voir, par la théorie précédente, que la chose est
toujours possible. En effet, étant, par hypothèse, du genre
principal, on pourra trouver une valeur de l’expression
(no 233, 6o), et parconséquent une forme ternaire de déterminant , dans laquelle la forme entre comme
partie, et dont l’on voit facilement que fous les coefficiens sont
entiers. Il est également clair que la forme doit être indéfinie,
puisque, par hypothèse, n’est certainement pas une forme négative ; donc sera équivalente à la forme , on pourra
parconséquent assigner une transformation de en , qui
fournira une représentation propre de par la forme ;
d’ailleurs on aura , ,
; d’où l’on voit qu’en faisant ,