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RECHERCHES

de la duplication de la forme $(11,17,40)$ se change en le produit de cette forme par elle-même, par la substitution $-1$ , $-7$ , $-7$ , $-18$ ; $2$ , $3$ , $3$ , $2$ .

287. Nous ajouterons les observations suivantes sur le problème précédent.

1^o. Si une forme $F$ se change, par la substitution $p$ , $p'$ , $p''$ , $p'''$ ; $q$ , $q'$ , $q''$ , $q'''$ , en le produit des deux formes $(h,i,k)$ , $(h',i',k')$ , toutes deux étant prises directement, comme nous le supposons toujours, on déduira facilement de la troisième conclusion du n^o 235 les équations

	$p''hn'-p'h'n$	$-p(in'-i'n)$	$=0$ ,
$(p''-p')(in'+i'n)-$	$p(kn'-k'n)$	$+p'''(hn'-h'n)$	$=0$ ,
	$p'kn'-p''Kn$	$-p'''(in'-i'n)$	$=0$ ,

et trois autres qu’on obtient en remplaçant dans celles-ci $p$ , $p'$ , $p''$ , $p'''$ par $q$ , $q'$ , $q''$ , $q'''$ . $n$ et $n'$ sont les racines quarrées positives des quotiens qui résultent de la division des déterminans des formes $(h,i,k)$ , $(h',i',k')$ par celui de la forme $F$ . Si donc ces formes sont identiques ou qu’on ait $n=n'$ , $h=h'$ , $i=i'$ , $k=k'$ , les équations précédentes deviennent $(p''-p')hn=0$ , $(p''-p')in=0$ , $p''-p')kn=0$ ; donc on a nécessairement $p'=p''$ , et absolument de la même manière, $q'=q''$ ; ainsi, en donnant aux formes $(h,k,i)$ , $(h',i',k')$ les mêmes indéterminées $t$ et $u$ , et désignant par $T$ , $U$ les indéterminées de la forme $F$ , $F$ se changera en $(ht^{2}+2itu+ku^{2})^{2}$ par la substitution

T=pt^{2}+2p'tu+p''u^{2},\qquad U=qt^{2}+2q'tu+q''u^{2}.

2^o. Si la forme $F$ naît de la duplication de la forme $f$ , elle naîtra aussi de la duplication de toute forme contenue dans la même classe que $f$ , ou la classe de la forme $F$ naîtra de la duplication de la classe de la forme $f$ (n^o 238). Ainsi dans l’exemple du n^o précédent, $(5,2,31)$ naîtra aussi de la duplication de la forme $(11,-5,16)$ , proprement équivalente à $(11,17,40)$ . Une fois qu’on connaît une classe de la duplication de laquelle résulte la classe de la forme $F$ , on les trouvera toutes, s’il y en a plusieurs, à l’aide du problème du n^o 260. Dans notre exemple, il n’y a pas d’autre classe positive de cette espèce, parcequ’il