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ARITHMÉTIQUES.

mais ne peut l’être davantage. Le nombre des représentations propres différentes de $M$ est donc ${\frac {1}{2}}K=3.2^{\mu +2}k$.

Pour ce qui regarde les cas exceptés, le nombre des transformations de $\varphi$ en elle-même sera (n^o 179) $4$ pour $M=1$, et $6$ pour $M=3$ : et en effet, on voit facilement que le nombre des représentations de $1$ et $3$ sont ${\frac {1}{4}}K$ et ${\frac {1}{6}}K$ respectivement, puisque chacun de ces nombres ne peut se décomposer que d’une manière en trois quarrés, savoir, $1$ en $1+0+0$, et $3$ en $1+1+1$. La décomposition de $1$ donne six représentations, celle de $3$ en donne huit. Or, pour $M=1$, on a $K=24$ (puisque $\mu =0$ et $k=1$) ; pour $M=3$, on a $K=48$ (puisque $\mu =1$ et $k=1$).

Au reste, observons que si $h$ désigne le nombre de classes du genre principal, qui (n^o 252) est égal au nombre de classes de tout autre genre proprement primitif, on aura $k=h$ pour $M\equiv 1$, $2$, $3$, $5$, $6$ ; mais $k={\frac {1}{3}}h$ pour $M\equiv 3$, excepté le seul cas où $M=3$, dans lequel $h=k=1$. Ainsi, pour les nombres de la forme $8n+3$, le nombre des représentations est en général $2^{\mu +2}h$, puisque dans le cas où $M=3$, les deux exceptions le comprennent.

292. Nous avons distingué les décompositions en trois quarrés, tant pour les nombres que pour les formes binaires, des représentations par la forme $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, en considérant dans les premières que la grandeur des quarrés, et dans les dernières, en outre de la grandeur des racines, leur ordre et les signes qui les affectent ; de manière que nous regardons comme différentes les deux représentations $x=a$, $y=b$, $z=c$, et $x=a'$,$y=b'$, $z=c'$ tant que l’on n’a pas $a=a'$, $b=b'$, $c=c'$ ; tandis que les décompositions $a^{2}+b^{2}+c^{2}$, $a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}$ n’en font qu’une seule, si les premiers quarrés sont égaux aux derniers, sans faire attention à leur ordre. Il suit de là

1^o. Que la décomposition du nombre $M$ en trois quarrés $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ équivaut à quarante-huit représentations, si aucun n’est nul, et qu’ils soient tous inégaux ; à vingt-quatre, si l’un des quarrés est nul et que les autres soient inégaux, ou qu’aucun ne soit nul et que deux soient égaux. Mais si deux quarrés sont nuls, ou que l’un d’eux soit nul, tandis que les deux autres sont égaux, ou enfin qu’ils soient tous trois égaux, la décomposition