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ARITHMÉTIQUES.

conséquent peut se trouver par la Section II : on aura d’ailleurs .

Au reste, on sait que la congruence a une infinité de racines, mais toutes congrues suivant , et il peut arriver que acquière une valeur négative. Il est à peine nécessaire de dire que l’on peut aussi trouver par la congruence , et par l’équation .

Par exemple, étant proposée la fraction , sera valeur de l’expression  ; donc se décompose en .

310. Si l’on propose une fraction dont le dénominateur soit le produit de tant de facteurs , , , , etc. qu’on voudra, qui soient premiers entre eux, on pourra, par le no précédent, la décomposer d’abord en deux fractions dont les dénominateurs soient et , etc., ensuite la dernière en deux dont les dénominateurs soient et , etc., et ainsi de suite, desorte que la fraction proposée sera mise sous la forme


Il est évident que l’on pourra toujours prendre les numérateurs , , , , etc. positifs et plus petits que leurs dénominateurs respectifs, excepté le dernier, qui n’est plus arbitraire, lorsque les autres sont déterminés, et peut être négatif et plus grand que son dénominateur (si du moins nous ne supposons pas ) Alors, le plus souvent, il sera avantageux de mettre la dernière fraction sous la forme , de manière que soit positif et moindre que , et que soit un entier.

Exemple. La fraction , dont le dénominateur , se décompose de cette manière en  ; en  ; en  ; donc mettant pour , il vient enfin


311. La fraction ne peut se mettre que d’une seule manière