dénominateur ont des mantisses égales ou différentes, suivant que les numérateurs , sont congrus ou incongrus suivant . Une mantisse finie ne change pas lorsqu’on ajoute plusieurs zéros à sa droite. La mantisse de la fraction s’obtient en retranchant la première figure de la mantisse de la fraction , et généralement, la mantisse de la fraction se trouve en retranchant les premières figures de la mantisse de la fraction . La mantisse de la fraction commence par un chiffre significatif, si ou ; mais si , et que le nombre de ses chiffres soit , les premières figures de la mantisse seront des zéros, et la ième un chiffre significatif. Il suit de là que si et ont des mantisses différentes, c’est-à-dire, si et sont incongrus suivant , ces mantisses ne peuvent avoir les premiers chiffres égaux, et qu’elles diffèrent au moins dans le ième.
313. Problème. Étant donné le dénominateur d’une fraction et les premières figures de sa mantisse, trouver le numérateur que nous supposons plus petit que
Considérons ces figures comme un nombre entier ; multiplions-le par et divisons le produit par en en retranchant les premières figures ; si le quotient est entier, c’est-à-dire, si les chiffres retranchés sont des zéros, ce sera évidemment le numérateur cherché, et la mantisse donnée sera complète, sinon le numérateur cherché sera l’entier immédiatement plus grand, ou ce quotient augmenté de l’unité, lorsqu’on en aura retranché la partie décimale. La raison de cette règle se tire si facilement des observations que nous avons faites à la fin du no précédent, qu’il n’y a pas besoin de plus grands développemens.
Exemple. Si l’on sait que sont les deux premières figures de la mantisse de la fraction dont le dénominateur est , on a le produit ; retranchant les deux derniers chiffres, et ajoutant l’unité, on trouve pour le numérateur cherché.
314. Considérons d’abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers ;
