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ARITHMÉTIQUES.

donc

$\alpha$	$=p$,
$2\beta$	$=p^{2}-p'$,	$=6+2p+2p''$,
$3\gamma$	$=(3+p+p'')p-pp'+p'$	$=6+6p+3p'$,
$4\delta$	$=(2+2p+p')-(3+p+p'')p'-p''$	$=12+4p+4p''$,
etc.

Au reste, il suffit de calculer de cette manière la moitié des coefficiens, car on prouve sans difficulté que les derniers sont égaux aux premiers dans l’ordre inverse, savoir le dernier $=1$, l’avant-dernier $=\alpha$, l’antépénultième $=\beta$, etc. ; ou qu’ils s’en déduisent en substituant pour $(f,1)$, $(f,g)$, etc., les périodes $(f,-1)$, $(f,-g)$, etc., c’est-à-dire $(f,n-g)$, $(f,n-1)$. Le premier cas a lieu quand $f$ est pair, le second quand $f$ est impair ; mais le dernier coefficient est toujours $=1$. Cette propriété se tire du théorème du n^o 79, mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter sur ce sujet.

350. Théorème. Si $\mathrm {n} -1$ est le produit de trois nombres entiers positifs $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ et que la période $(\beta \gamma ,\lambda ),$ qui a $\beta \gamma$ termes, soit composée de $\beta$ périodes $(\gamma ,\lambda ),$ $(\gamma ,\lambda '),$ $(\gamma ,\lambda ''),$ etc., dont chacune a $\gamma$ termes ; si de plus, en substituant les sommes $(\gamma ,\lambda ),$ $(\gamma ,\lambda '),$ $(\gamma ,\lambda ''),$ etc. à la place de $\mathrm {t} ,$ $\mathrm {u} ,$ $\mathrm {v} ,$ etc., dans une fonction $\mathrm {F} =\varphi \mathrm {(t,u,v\dots )}$ telle qu’au n^o 347, elle se réduit à $\mathrm {A+a} (\gamma ,1)+\mathrm {a'} (\gamma ,g)...+\mathrm {a} ^{\zeta }(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \beta -\alpha })\dots +\mathrm {a} ^{\theta }(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \beta -1})=\mathrm {W} \,;$ en supposant d’ailleurs que $\mathrm {F}$ soit une fonction invariable ; les périodes comprises dans $(\mathrm {W} )$, qui appartiendront à une même période de $\beta \gamma$ termes, c’est-à-dire, en général celles qui seront telles que $(\gamma ,\mathrm {g} ^{\mu })$ et $(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \nu +\mu }),$ $\nu$ étant un entier quelconque, auront nécessairement les mêmes coefficiens.

La période $(\beta \gamma ,\lambda g^{\alpha })$ étant identique avec la période $(\beta \gamma ,\lambda )$, les périodes plus petites $(\gamma ,\lambda g^{\alpha })$, $(\gamma ,\lambda 'g^{\alpha })$, $(\gamma ,\lambda ''g^{\alpha })$, etc. dont la première est évidemment composée, doivent coïncider avec celles qui composent la seconde, abstraction faite de l’ordre. Si donc on suppose que par la substitution de ces périodes à la place des indéterminées $t$, $u$, $v$, etc., le facteur $F$ se change en $W'$, $W'$ devra coïncider avec $W$. Mais (n^o 347) on a

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