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ARITHMÉTIQUES.

Si donc $\alpha =1$, les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes se détermineront par une équation de degré $\beta$, dont les coefficiens peuvent être mis sous la forme $A+a(\beta \gamma ,1)$, et sont parconséquent des quantités connues. Si $\alpha >1$, les coefficiens de l’équation dont les racines sont toutes les périodes de $\gamma$ termes contenues dans une période donnée de $\beta \gamma$ termes, seront des quantités connues, dès que l’on connaîtra les valeurs numériques des périodes de $\beta \gamma$ termes.

Au reste le calcul devient souvent plus facile, surtout quand $\beta$ n’est pas un petit nombre, en calculant d’abord les sommes des puissances des racines, et en déduisant les coefficiens par le théorème de Newton, comme ci-dessus, n^o 349.

Exemple 1. On demande pour $n=19$, l’équation dont les racines sont les sommes $(6,1)$, $(6,2)$, $(6,4)$.

Désignons ces racines par $p$, $p'$, $p''$ respectivement, et l’équation cherchée, par

$x^{3}-Ax^{2}+Bx-C=0\,;$

on aura

$A=p+p'+p''$,—$B=pp'+pp''+p'p''$, —$C=pp'p''$ ;

donc $A=(18,1)=-1\,;$ or on a

${\begin{matrix}pp'&=&p&+2p'&+3p'',\\pp''&=&2p&+3p'&+p'',\\p'p''&=&3p&+p'&+2p'',\end{matrix}}$

donc ————$B=6(p+p'+p'')=6(18,1)=-6$ ;

enfin $C=(p+2p'+3p'')p''=3(6,0)+11(18,1)=18-11=7$ ;

donc l’équation cherchée est

$x^{3}+x^{2}-6x-7=0$.

En employant l’autre méthode, nous avons

${\begin{array}{rlll}p+p'+p''&=-&1,\\p^{2}&=&6+2p+p'+2p'',\\p'^{2}&=&6+2p'+p''+2p,\\p''^{2}&=&6+2p''+p+2p'\,;\end{array}}$

d’où………	$p^{2}+p'^{2}+p''^{2}=18+5(p+p'+p'')$	$=13.$
De même…	$p^{3}+p'^{3}+p''^{3}=36+34(p+p'+p'')$	$=2.$

De là, à l’aide du théorème de Newton, on tire la même équation que ci-dessus.

Exemple 2. On demande pour $n=19$, l’équation dont les racines sont les sommes $(2,1)$, $(2,7)$, $(2,8)$.

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