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ARITHMÉTIQUES.

l’on ait représenté par $[1]$ telle racine de $\Omega$ plutôt que telle autre, on sera libre de supposer que $[1]$ soit une des racines qui constituent une racine quelconque donnée de l’équation $(A)$, desorte qu’alors cette racine de l’équation $(A)$ deviendra $(a,1)$. Mais la racine $[1]$ n’est-pas encore par-là tout-à-fait déterminée, et le choix de celle des racines comprises dans $(a,1)$ que nous prendrons pour $[1]$ est absolument arbitraire. Au reste, une fois que $(a,1)$ est déterminé, toutes les autres sommes de $a$ racines peuvent en être déduites rationnellement (n^o 346) ; d’où il suit qu’il n’y a qu’une racine de l’équation $(A)$ qu’il soit nécessaire de trouver. On peut aussi employer pour faire cette distinction, la méthode suivante qui est moins directe. On prendra pour $[1]$ une racine déterminée, c’est-à-dire, qu’on fera

$[1]=\cos {\frac {kP}{n}}+i\,\sin {\frac {kP}{n}},$

l’entier $k$ étant pris à volonté, pourvu qu’il ne soit pas divisible par $n$. Alors $[2]$, $[3]$, etc. indiquent des racines déterminées, et parconséquent $(a,1)$, $(a,g)$, etc. Si par les tables des sinus on calcule ces quantités, seulement avec assez de précision pour pouvoir décider quelles sont les plus grandes et les plus petites, il ne restera plus de doute sur la distinction à faire entre les racines de l’équation $(A)$.

Quand on aura trouvé de cette manière les $\alpha$ sommes de $a$ racines, on cherchera (n^o 350) l’équation $(B)$, dont les racines sont les $\beta$ sommes de $b$ termes contenues dans $(a,1)$ ; les coefficiens de cette équation seront des quantités connues. Comme il y a encore de l’indétermination dans le choix de celle des racines contenues dans $(a,1)$, que l’on désignera par $[1]$, toute racine de l’équation $(B)$ peut être représentée par $(b,1)$, parceque l’on peut évidemment supposer qu’une des racines qui la compose soit désignée par $[1]$. On cherchera donc une racine quelconque de l’équation $(B)$ par sa résolution ; on la supposera égale à $(b,1)$, et on en déduira, par le n^o 346, toutes les autres sommes de $b$ racines. De cette manière, nous avons un moyen de vérifier le calcul, puisque les périodes de $b$ racines qui appartiennent à une même période de $a$ termes, doivent produire des sommes que l’on connaît. Dans quelques cas, il est aussi expéditif de former