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RECHERCHES

Lorsque dans deux permutations l’ordre des choses ne différera qu’en ce que celle qui tient la première place dans l’une, en occupe une différente dans l’autre, mais que du reste toutes les autres choses, à partir de celle-là, suivent le même ordre dans chacune des permutations, de manière que la dernière de l’une se trouve placée immédiatement avant la première dans, l’autre ; nous les appellerons permutations semblables [1]. Ainsi et , et seront semblables.

Or comme chaque permutation est composée de choses, il est clair qu’on pourra en trouver , semblables à une quelconque d’entre elles, si l’on met successivement à la seconde, à la troisième place, etc., la chose qui occupait la première ; donc si aucunes de ces permutations semblables ne sont identiques, il est évident que le nombre total des permutations sera égal à fois le nombre des permutations dissemblables, et conséquemment sera divisible par . Supposons que deux permutations semblables , puissent être identiques, et que qui occupe la première place dans la première, occupe la ème dans la seconde : on aura dans la dernière série le ème terme égal au 1er, le ème égal au 2ème, etc., d’où résulte que le ème ; encore égal au premier, et parconséquent le ème et généralement le ème égal au ème (où quand , il faut imaginer qu’on reprenne toujours par le commencement, la série , à moins qu’on ne retranche de le multiple de qui en approche le plus en moins). Cela posé, si on détermine de manière que , ce qui peut toujours se faire, puisque est premier, il suivra de là que généralement le ème terme serait égal au ème, c’est-à-dire qu’un terme quelconque serait égal au suivant, ou que tous les termes seraient égaux entre eux, ce qui est contre l’hypothèse.

42. Si les coefficiens etc., etc., de deux fonctions de la forme

  1. Si l’on écrivait en cercle les permutations semblables, de manière que la dernière chose touchât à la première, il n’y aurait aucune différence entre elles, parcequ’aucune place ne peut s’appeler la première ni la dernière