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RECHERCHES

Lorsque dans deux permutations l’ordre des choses ne différera qu’en ce que celle qui tient la première place dans l’une, en occupe une différente dans l’autre, mais que du reste toutes les autres choses, à partir de celle-là, suivent le même ordre dans chacune des permutations, de manière que la dernière de l’une se trouve placée immédiatement avant la première dans l’autre ; nous les appellerons permutations semblables^[1]. Ainsi $ABCDE$ et $DEABC$ , $ABAAB$ et $ABABA$ seront semblables.

Or comme chaque permutation est composée de $p$ choses, il est clair qu’on pourra en trouver $p-1$ , semblables à une quelconque d’entre elles, si l’on met successivement à la seconde, à la troisième place, etc., la chose qui occupait la première ; donc si aucunes de ces permutations semblables ne sont identiques, il est évident que le nombre total des permutations sera égal à $p$ fois le nombre des permutations dissemblables, et conséquemment sera divisible par $p$ . Supposons que deux permutations semblables $PQ\dots TV\dots YZ$ , $V\dots YZPQ\dots T$ puissent être identiques, et que $P$ qui occupe la première place dans la première, occupe la $n+1$ ^ème dans la seconde : on aura dans la dernière série le $n+1$ ^ème terme égal au 1^er, le $n+2$ ^ème égal au 2^ème, etc., d’où résulte que le $2n+1$ ^ème est encore égal au premier, et parconséquent le $3n+1$ ^ème, et généralement le $kn+m$ ^ème égal au $m$ ^ème (où quand $kn+m>p,$ il faut imaginer qu’on reprenne toujours par le commencement, la série $V\dots YZPQ\dots T,$ à moins qu’on ne retranche de le multiple de $p$ qui en approche le plus en moins). Cela posé, si on détermine $k$ de manière que $kn\equiv 1{\pmod {p}}$ , ce qui peut toujours se faire, puisque $p$ est premier, il suivra de là que généralement le $m$ ^ème terme serait égal au $m+1$ ^ème, c’est-à-dire qu’un terme quelconque serait égal au suivant, ou que tous les termes seraient égaux entre eux, ce qui est contre l’hypothèse.

42. Si les coefficiens $\mathrm {a,\,b,\,c,}$ etc., $\mathrm {n} \,;$ $\mathrm {a',\,b',\,c',}$ etc., $\mathrm {n'} \,;$ de deux fonctions de la forme

↑ Si l’on écrivait en cercle les permutations semblables, de manière que la dernière chose touchât à la première, il n’y aurait aucune différence entre elles, parcequ’aucune place ne peut s’appeler la première ni la dernière

[1] Si l’on écrivait en cercle les permutations semblables, de manière que la dernière chose touchât à la première, il n’y aurait aucune différence entre elles, parcequ’aucune place ne peut s’appeler la première ni la dernière

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