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ARITHMÉTIQUES
SECTION TROISIÈME.
Des Résidus des Puissances.
45. Théorème. Dans toute progression géométrique etc., outre le premier terme il y en a encore un autre congru à l’unité suivant le module premier avec l’exposant étant
Puisque le module est premier avec et parconséquent avec
une puissance quelconque de aucun terme de la progression
ne sera mais chacun d’eux sera congru à quelqu’un
des nombres . Comme le nombre de ces derniers est il est évident que si l’on considère plus de termes de la progression, ils ne pourront pas avoir tous des résidus
minima différens. Ainsi parmi les nombres on
en trouvera au moins deux congrus. Soit donc et
on aura, en divisant par (no 22), où et
Exemple. Dans la progression etc. le premier terme
qui est congru avec l’unité suivant le module se trouve être
, mais suivant le module on a dans la même progression, de même et
Ainsi dans quelques cas la puissance de
congrue avec l’unité, est plus petite que et dans d’autres,
il faut remonter jusqu’à la puissance elle-même.
46. Quand la progression est continuée au delà du terme qui
est congru à l’unité, on retrouvera les mêmes résidus qu’on avait
à partir du commencement. Ainsi, soit on aura
etc., jusqu’à ce qu’on parvienne au terme dont le
résidu minimum sera de nouveau et la période des résidus