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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/60

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RECHERCHES

On décomposera en facteurs premiers, de manière qu’on ait etc. , , , etc. étant des nombres premiers inégaux. Alors nous composerons la démonstration des deux propositions suivantes :

1o. On peut toujours trouver un nombre , ou plusieurs appartenans à l’exposant , et de même des nombres , , etc. appartenant aux exposans , , etc.

2o. Le produit des nombres , , , etc. ou le résidu minimum de ce produit appartiendra à l’exposant  ; ce qui se démontre ainsi qu’il suit.

1o. Soit un des nombres , , qui ne satisfasse pas à la congruence  ; car tous les nombres ne peuvent pas satisfaire à cette congruence, dont le degré est . Alors je dis que si l’on fait , ou son résidu minimum appartiendra à l’exposant .

En effet il est évident que  ; mais , et parconséquent sera incongru à l’unité, et à plus forte raison les puissances , le seront aussi. Or l’exposant de la plus petite puissance de congrue à l’unité, c’est-à-dire l’exposant auquel appartient, doit être un diviseur de (no 48) ; et comme n’est divisible que par lui-même, ou par les puissances inférieures de , il s’ensuit nécessairement que sera l’exposant auquel appartient. On démontrera de la même manière, qu’on peut trouver des nombres appartenans aux exposans , , etc.

2o. Si nous supposons que le produit de tous les nombres , , , etc. n’appartienne pas à l’exposant , etc., mais à un exposant plus petit, devra être un des diviseurs de (no 48), ou sera un entier . Il suit de là que ce quotient sera un