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RECHERCHES

71. On démontre facilement que l’on peut toujours trouver une base telle, qu’un nombre appartenant à l’exposant $t$ ait un indice donné à volonté. Le plus grand commun diviseur de cet indice et de $p-1$ étant ${\frac {p-1}{t}}$ désignons par $d$ ce diviseur, et soit l’indice proposé $\equiv dm\,;$ soit $dn$ l’indice du nombre donné quand on prend pour base la racine primitive quelconque $a\,;$ on aura $m$ et $n$ premiers avec ${\frac {p-1}{d}}$ ou $t.$ Or si $\varepsilon$ est une valeur de l’expression ${\frac {dn}{dm}}{\pmod {p-1}},$ et en même temps premier avec $p-1,$ $a^{\varepsilon }$ sera la racine primitive cherchée, car on aura $a^{\varepsilon dm}\equiv a^{dn}\equiv$ au nombre proposé ${\pmod {p}}.$ Il nous reste à prouver que l’expression ${\frac {dn}{dm}}{\pmod {p-1}}$ peut admettre des valeurs premières avec $p-1\,;$ elle équivaut à ${\frac {n}{m}}{\pmod {\frac {p-1}{d}}}$ ou ${\frac {n}{m}}{\pmod {t}},$ (n^o 31, 2^o) et toutes les valeurs en seront premières avec $t\,;$ car si une valeur $e$ avait un diviseur commun avec $t,$ ce diviseur devrait aussi diviser $me,$ et partant diviser $n$ qui est congru à $me,$ suivant le module $t$, ce qui est contre l’hypothèse suivant laquelle $n$ est premier avec $t.$ Ainsi, quand tous les diviseurs premiers de $p-1$ divisent aussi $t,$ toutes les valeurs de l’expression ${\frac {n}{m}}{\pmod {t}}$ sont premières avec $p-1,$ et leur nombre est $d\,;$ mais quand $p-1$ renferme encore d’autres facteurs premiers $f,$ $g,$ $h,$ etc. qui ne divisent pas $t,$ soit $e$ une valeur de ${\frac {n}{m}}{\pmod {t}},$ comme $t,$ $f,$ $g,$ $h,$ etc. sont premiers entre eux, on peut trouver un nombre $\varepsilon$ congru à $e$ suivant le module $t,$ et congru, suivant $f,$ $g,$ $h,$ etc., à des nombres quelconques premiers avec ceux-ci (n^o 32). Ce nombre ne sera divisible par aucun facteur de $p-1,$ et partant sera premier avec lui, comme il est nécessaire. On pourrait démontrer sans peine par la théorie des combinaisons, que le nombre de ces valeurs est ${\frac {p-1}{t}}.{\frac {f-1}{f}}.{\frac {g-1}{g}}.{\frac {h-1}{h}}.$ etc. ; mais nous omettons cette démonstration qui ne peut nous être d’aucune utilité.

72. Quoiqu’en général on puisse prendre arbitrairement pour base une racine primitive quelconque, certains avantages parti-