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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/91

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ARITHMÉTIQUES.



SECTION QUATRIÈME.


Des Congruences du second degré.


94. Théorème. Un nombre quelconque étant pris pour module, il ne peut y avoir dans la suite plus de nombres, quand est pair, et plus de quand est impair, qui soient congrus à un quarré.

Comme les quarrés des nombres congrus sont congrus entre eux, un nombre qui peut être congru à un quarré, le sera à un autre quarré, dont la racine est plus petite que Il suffit donc de considérer les résidus minima des quarrés mais on voit facilement qu’on a etc. Donc aussi, quand est pair, les quarrés et et etc., auront les mêmes résidus minima ; et quand est impair, et et etc. seront congrus. D’où il suit évidemment qu’il n’y a pas d’autres nombres congrus à un quarré que ceux qui le sont à l’un des quarrés : ,… quand est pair ; et que quand est impair, il n’y en a pas d’autres que ceux qui sont congrus à l’un des quarrés Donc il y aura au plus résidus minima, différens dans le premier cas, et dans le second.

Exemple Suivant le module , les résidus minima des quarrés des nombres sont et après