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RECHERCHES

103. Comme nous avons commencé (n^o 100) par exclure le cas où $p=2$, il faut ajouter quelque chose à ce sujet. Quand $2$ est module, tous les nombres sont résidus, et il n’y en a point de non-résidus. Quand le module est $4$, tous les nombres impairs de la forme $4k+1$ sont résidus, et tous ceux de la forme $4k+3$ sont non-résidus. Enfin, quand le module est $8$ ou une plus haute puissance de $2$, tous les nombres impairs de la forme $8k+1$ sont résidus, et les autres, ou ceux qui sont de la forme $8k+3$, $8k+5$, $8k+7$ sont non-résidus ; la dernière partie de cette proposition est évidente, puisque le quarré d’un nombre impair de la forme $4k+1$ ou $4k-1$ est toujours de la forme $8k+1$. On peut démontrer la première comme il suit.

1^o. Si la somme ou la différence de deux nombres est divisible par $2^{n-1}$, les quarrés de ces nombres seront congrus suivant le module $2^{n}$. En effet, soit $a$ un de ces nombres, l’autre sera $2^{n-1}h\pm a$, dont le quarré est $\equiv a^{2}{\pmod {2^{n}}}$.

2^o. Tout nombre impair qui est résidu quadratique de $2^{n}$ est congru à un quarré dont la racine est un nombre impair et $<2^{n-2}$. Soit en effet $a^{2}$ un quarré quelconque, auquel ce nombre soit congru, et $\alpha \equiv a{\pmod {2^{n-1}}}$, $\alpha$ n’étant pas plus grand que la moitié du module (n^o 4), on aura $a^{2}\equiv \alpha ^{2}$, et partant le nombre proposé sera $\equiv \alpha ^{2}$. Mais il est évident que $a$ et $\alpha$ seront impairs, et que parconséquent $a<2^{n-2}$.

3^o. Les quarrés de tous les nombres impairs moindres que $2^{n-2}$ seront incongrus, suivant le module $2^{n}$. Soient en effet deux nombres $r$ et $s$, deux nombres impairs moindres que $2^{n-2}$ ; si leurs quarrés étaient congrus suivant $2^{n}$, on aurait $(r-s)(r+s)$ divisibles par $2^{n}$, $r$ étant $>s$ ; mais on voit aisément que $r+s$ et $r-s$ ne peuvent être à-la-fois divisibles par $4$, et si l’un est seulement divisible par $2$, l’autre doit l’être par $2^{n-1}$, ce qui est absurde, puisque chacun d’eux est $<2^{n-2}$.

4^o. Si l’on ramène ces quarrés à leurs résidus minima positifs, on aura $2^{n-3},$ résidus quadratiques différens, et plus petits que le module ; mais comme il y a précisément $2^{n-3}$, nombres de la forme $8k+1$ plus petits que le module, nécessairement tous ces nombres se trouveront parmi les résidus.