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nous aurons, d’après des formules données plus haut,

$\mathrm {X} =-t\mathrm {Z} ,\quad \mathrm {Y} =-u\mathrm {Z} ,\quad (1+t^{2}+u^{2})\mathrm {Z} ^{2}=1,$

et, de là,

$d\mathrm {X} =-\mathrm {Z} dt-td\mathrm {Z} ,$

$d\mathrm {Y} =-\mathrm {Z} du-ud\mathrm {Z} ,$

$(1+t^{2}+u^{2})d\mathrm {Z} +\mathrm {Z} (tdt+udu)=0,$

ou

$d\mathrm {Z} =-\mathrm {Z} ^{3}(tdt+udu),$

$d\mathrm {X} =-\mathrm {Z} ^{3}(1+u^{2})dt+\mathrm {Z} ^{3}tudu,$

$d\mathrm {Y} =+\mathrm {Z} ^{3}tudt-\mathrm {Z} ^{3}(1+t^{2})du$

et aussi

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {Z} ^{3}[-(1+u^{2})\mathrm {T} +tu\mathrm {U} ],$

${\frac {d\mathrm {X} }{dy}}=\mathrm {Z} ^{3}[-(1+u^{2})U+tu\mathrm {V} ],$

${\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}=\mathrm {Z} ^{3}[tu\mathrm {T} -(1+t^{2})\mathrm {U} ],$

${\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=\mathrm {Z} ^{3}[tu\mathrm {U} -(1+t^{2})\mathrm {V} ].$

${\displaystyle }$
En substituant ces valeurs dans l’expression précédente, il vient

$k=\mathrm {Z} ^{6}(\mathrm {TV} -\mathrm {U} ^{2})(1+t^{2}+u^{2})=\mathrm {Z} ^{4}(\mathrm {TV} -\mathrm {U} ^{2})={\frac {\mathrm {TV} -\mathrm {U} ^{2}}{(1+t^{2}+u^{2})^{2}}}.$

VIII.

Par un choix convenable de l’origine et des axes des coordonnées, on peut faire facilement que, pour un point déterminé $\mathrm {A} ,$ les valeurs des quantités $t,\ u,\ \mathrm {U}$ s’évanouissent. D’abord les deux premières conditions sont remplies, si l’on prend le plan tangent en ce point pour plan des coordonnées $x,\ y.$ Si, de plus, on place l’ori-