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le double de l’aire de cette projection sera exprimé par

$d\mathrm {X} .\delta \mathrm {Y} -d\mathrm {Y} .\delta \mathrm {X} ,$

et le signe de cette expression se détermine de la même manière que ci-dessus. Donc la mesure de la courbure en ce lieu de la surface sera

$k={\frac {d\mathrm {X} .\delta \mathrm {Y} -d\mathrm {Y} .\delta \mathrm {X} }{dx.\delta y-dy.\delta x}}.$

Si nous supposons que la nature de la surface est donnée suivant le troisième mode considéré dans l’article IV, on aura $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sous forme de fonctions des quantités $x$ et $y$ ; d’où

$d\mathrm {X} =\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)dx+\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right)dy,$

$\delta \mathrm {X} =\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)\delta x+\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right)\delta y,$

$d\mathrm {Y} =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right)dx+\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)dy,$

$\delta \mathrm {Y} =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right)\delta x+\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)\delta y.$

Par la substitution de ces valeurs, l’expression précédente se change en celle-ci :

$k=\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right).\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)-\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right).\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right).$

Posant, comme plus haut,

${\frac {dz}{dx}}=t,\qquad {\frac {dz}{dy}}=u,$

et de plus,

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=\mathrm {T} ,\qquad {\frac {d^{2}z}{dx\ dy}}=\mathrm {U} ,\qquad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=\mathrm {V} ,$

ou

$dt=\mathrm {T} \ dx+\mathrm {U} \ dy,\qquad du=\mathrm {U} \ dx+\mathrm {V} \ dy,$