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nous aurons, d’après des formules données plus haut,

X = - t Z, Y = - u Z, (1 + t^{2} + u^{2}) Z^{2} = 1,

et, de là,

\begin{matrix} d X = - Z d t - t d Z, \\ d Y = - Z d u - u d Z, \\ (1 + t^{2} + u^{2}) d Z + Z (t d t + u d u) = 0, \end{matrix}

ou

\begin{matrix} d Z = & - Z^{3} (t d t + u d u), \\ d X = & - Z^{3} (1 + u^{2}) d t + Z^{3} t u d u, \\ d Y = & + Z^{3} t u d t - Z^{3} (1 + t^{2}) d u, \end{matrix}

et aussi

\begin{matrix} \frac{d X}{d x} = & Z^{3} [- (1 + u^{2}) T + t u U], \\ \frac{d X}{d y} = & Z^{3} [- (1 + u^{2}) U + t u V], \\ \frac{d Y}{d x} = & Z^{3} [t u T - (1 + t^{2}) U], \\ \frac{d Y}{d y} = & Z^{3} [t u U - (1 + t^{2}) V] . \end{matrix}

En substituant ces valeurs dans l’expression précédente, il vient

$k = Z^{6} (T V - U^{2}) (1 + t^{2} + u^{2}) = Z^{4} (T V - U^{2}) = \frac{T V - U^{2}}{(1 + t^{2} + u^{2})^{2}} .$

VIII.

Par un choix convenable de l’origine et des axes des coordonnées, on peut faire facilement que, pour un point déterminé $A,$ les valeurs des quantités $t, u, U$ s’évanouissent. D’abord les deux premières conditions sont remplies, si l’on prend le plan tangent en ce point pour plan des coordonnées $x, y .$ Si, de plus, on place l’ori-