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Il faut maintenant distinguer trois cas. Premièrement, chaque fois que $\mathrm {L''}$ est situé sur le grand cercle dont fait partie l’arc $\mathrm {LL'}$ , on aura $\lambda \mathrm {L''} =90$ degrés, et par suite, $\Delta =0$ . Mais quand $\mathrm {L''}$ est situé hors de ce grand cercle, on aura le deuxième cas, s’il est dans le même hémisphère que $\lambda$ ; le troisième, s’il est dans l’hémisphère opposé : dans ces derniers cas, les points $\mathrm {L,\,L',\,L''}$ formeront un triangle sphérique, et seront placés, dans le deuxième cas, dans le même ordre que les points $(1),\,(2),\,(3),$ et, dans le troisième cas, dans l’ordre opposé. En désignant simplement par $\mathrm {L,\,L',\,L''}$ les angles de ce triangle et par $p$ la perpendiculaire menée, sur la surface de la sphère, du point $\mathrm {L''}$ au côté $\mathrm {LL'} ,$ on aura

\sin p=\sin \mathrm {L} .\sin \mathrm {LL''} =\sin \mathrm {L'} .\sin \mathrm {L'L''}

, et

\lambda \mathrm {L''} =90^{\circ }\mp p,

le signe supérieur devant être pris dans le deuxième cas, et le signe supérieur dans le troisième. De là aussi nous tirons

{\begin{alignedat}{2}\pm \Delta =\sin \mathrm {L} .\sin \mathrm {LL'} .\sin \mathrm {LL''} &=\sin \mathrm {L'} .\sin \mathrm {LL'} .sin\mathrm {L'L''} \\&=\sin \mathrm {L''} .\sin \mathrm {LL''} .\sin \mathrm {L'L''} .\end{alignedat}}

Il est d’ailleurs évident que le premier cas peut être censé compris dans le deuxième ou le troisième, et l’on voit sans embarras que $\pm \Delta$ est égal à six fois le volume de la pyramide formée entre les points $\mathrm {L,\,L',\,L''}$ et le centre de la sphère. Enfin, on tire de là avec la plus grande facilité, que la même expression $\pm {\tfrac {1}{6}}\Delta$ exprime généralement le volume d’une pyramide quelconque comprise entre l’origine des coordonnées et les points dont $x,\,y,\,z\,;$ $x',\,y',\,z'\,;$ $x'',\,y'',\,z''$ sont les coordonnées.

III.

Une surface courbe est dite avoir une courbure continue en un point $\mathrm {A}$ situé sur elle, si les directions de toutes