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naturellement,

$\mathrm {C^{3}T}$	$=$		$\ \alpha \mathrm {A} b'^{2}+\beta \mathrm {B} b'^{2}+\gamma \mathrm {C} b'^{2}$
		$-$	$2\alpha '\mathrm {A} bb'-2\beta '\mathrm {B} bb'-2\gamma '\mathrm {C} bb'$
		$+$	$\alpha ''A\mathrm {A} b^{2}+\beta ''\mathrm {B} b^{2}+\gamma ''\mathrm {C} b^{2},$
$\mathrm {C^{3}U}$	$=$	$-$	$\alpha \mathrm {A} a'b'-\beta \mathrm {B} a'b'-\gamma Ca'b'$
		$+$	$\alpha '\mathrm {A} (ab'+ba')+\beta '\mathrm {B} (ab'+ba')+\gamma '\mathrm {C} (ab'+ba'),$
		$-$	$\alpha ''\mathrm {A} ab-\beta ''\mathrm {B} ab-\gamma '\mathrm {C} ab,$
$\mathrm {C^{3}V}$	$=$		$\ \alpha \mathrm {A} a'^{2}+\beta \mathrm {B} a'^{2}+\gamma \mathrm {C} a'^{2}$
		$-$	$2\alpha '\mathrm {A} aa'-2\beta '\mathrm {B} aa'-2\gamma '\mathrm {C} aa'$
		$+$	$\alpha ''\mathrm {A} a^{2}+\beta ''\mathrm {B} a^{2}+\gamma ''\mathrm {C} a^{2}.$

Si donc, pour abréger, nous posons

(1)	$\mathrm {A} \alpha$	$+\ \mathrm {B} \beta$	$+\,\mathrm {C} \gamma$	$=\mathrm {D} ,$
(2)	$\mathrm {A} \alpha '$	$+\ \mathrm {B} \beta '$	$+\,\mathrm {C} \gamma '$	$=\mathrm {D'} ,$
(3)	$\mathrm {A} \alpha ''$	$+\,\mathrm {B} \beta ''$	$+\ \mathrm {C} \gamma ''$	$=\mathrm {D''} ,$

on a

$\mathrm {C^{3}T}$	$=$	$\mathrm {D} b'^{2}-2\mathrm {D'} bb'+\mathrm {D''} b^{2},$
$\mathrm {C^{3}U}$	$=-$	$\mathrm {D} a'b'+\mathrm {D'} (ab'+ba')-\mathrm {D''} ab,$
$\mathrm {C^{3}V}$	$=$	$\mathrm {D} a'^{2}-2\mathrm {D'} aa'+\mathrm {D''} a^{2}.$

De là , en faisant le développement,

$\mathrm {C^{6}(TV-U^{2})} =\mathrm {(DD''-D'^{2})} (ab'-ba')^{2}=\mathrm {(DD''-D'^{2})C^{2},}$

et, par conséquent, la formule, pour la mesure de la courbure,

$k=\mathrm {{\frac {DD''-D'^{2}}{(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}}}.}$

XI.

À l’aide de la formule que nous venons de trouver, nous en établirons une autre, qui doit être rangée parmi les théorèmes les plus féconds dans la doctrine des surfaces courbes. Introduisons les notations suivantes :

$a^{2}$	$+\ b^{2}$	$+\ c^{2}$	$=\ \mathrm {E} ,$
$aa'$	$+\ bb'$	$+\ cc'$	$=\ \mathrm {F} ,$
$a'^{2}$	$+\ b'^{2}$	$+\ c'^{2}$	$=\ \mathrm {G} ,$