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( 25 )

(4)	$a\alpha$	$+\ b\beta$	$+\ c\gamma$	$=m,$
(5)	$a\alpha '$	$+\ b\beta '$	$+\ c\gamma '$	$=m',$
(6)	$a\alpha ''$	$+\ b\beta ''$	$+\ c\gamma ''$	$=m'',$
(7)	$a'\alpha$	$+\ b'\beta$	$+\ c'\gamma$	$=n,$
(8)	$a'\alpha '$	$+\ b'\beta '$	$+\ c'\gamma '$	$=n',$
(9)	$a'\alpha ''$	$+\ b'\beta ''$	$+\ c'\gamma ''$	$=n'',$

$\mathrm {A^{2}\ +\ B^{2}\ +\ C^{2}\ =\ EG\ -\ F^{2}} \ =\ \Delta .$

Éliminons des équations (1), (4), (7) les quantités $\beta ,\ \gamma ,$ ce que nous ferons en les multipliant par $bc'-cb'$, $b'\mathrm {C} -c'\mathrm {B} ,$ $c\mathrm {B'} -b\mathrm {C} \ ;$ et les ajoutant, il viendra

$\qquad \left[\mathrm {A} (bc'-cb')+a(b'\mathrm {C} -c'\mathrm {B} )+a'(c\mathrm {B} -b\mathrm {C} )\right]\alpha$

$=\mathrm {D} (bc'-cb')+m(b'\mathrm {C} -c'\mathrm {B} )+n(c\mathrm {B} -b\mathrm {C} ),$

équation que nous transformons facilement en celle-ci,

$\mathrm {AD} \ =\ \alpha \Delta \ +\ a(n\mathrm {F} \ -\ m\mathrm {G} )\ +\ \ a'(m\mathrm {F} \ -\ n\mathrm {E} ).$

De la même manière, l’élimination des quantités $\alpha ,\ \gamma$ ou $\alpha ,\ \beta ,$ des mêmes équations, donne

$\mathrm {BD} \ =\ \beta \Delta \ +\ b(n\mathrm {F} \ -\ m\mathrm {G} )\ +\ \ b'(m\mathrm {F} \ -\ n\mathrm {E} ),$

$\mathrm {CD} \ =\ \gamma \Delta \ +\ c(n\mathrm {F} \ -\ m\mathrm {G} )\ +\ \ c'(m\mathrm {F} \ -\ n\mathrm {E} ).$

En multipliant ces trois équations par $\alpha '',\ \beta '',\ \gamma '',$ et les ajoutant, on obtient

(10)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {DD''} &=(\alpha \alpha ''+\beta \beta ''+\gamma \gamma '')\Delta \\&+m''(n\mathrm {F} -m\mathrm {G} )+n''(m\mathrm {F} -n\mathrm {E} ).\end{aligned}}\right.$

Si nous traitons de la même manière les équations (2), (5), (8), il vient

$\mathrm {AD'}$	$=$	$\alpha '\Delta$	$+a(n'\mathrm {F} -m'\mathrm {G} )+a'(m'\mathrm {F} -n'\mathrm {E} ),$
$\mathrm {BD'}$	$=$	$\beta '\Delta$	$+b(n'\mathrm {F} -m'\mathrm {G} )+b'(m'\mathrm {F} -n'\mathrm {E} ),$
$\mathrm {CD'}$	$=$	$\gamma '\Delta$	$+c(n'\mathrm {F} -m'\mathrm {G} )+c'(m'\mathrm {F} -n'\mathrm {E} )\ ;$

ces équations étant multipliées par $\alpha ',\ \beta ',\ \gamma ',$ leur addition donne

$\mathrm {D'^{2}} =(\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2})\Delta +m'(n'\mathrm {F} -m'\mathrm {G} )+n'(m'\mathrm {F} -n'\mathrm {E} ).$