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d’où il résulte que les différentielles ci-dessus deviennent $d\xi ,\ d\eta ,\ d\zeta .$ Et comme les quantités $\mathrm {P,\ Q,\ R}$ sont proportionnelles à $\mathrm {X,\ Y,\ Z} ,$ le caractère de la ligne de plus courte distance consiste dans les équations

${\frac {}{}}$

${\frac {d\xi }{\mathrm {X} }}$

$\ ={\frac {d\eta }{\mathrm {Y} }}\ =\,$

${\frac {d\zeta }{\mathrm {Z} }}.$

Du reste, on voit facilement que ${\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}}$ est égal, sur la surface sphérique, au petit arc qui mesure l’angle compris entre les directions des tangentes, au commencement et à la fin de l’élément $dr,$ et que, par suite, il est égal à ${\frac {dr}{\rho }},$ si $\rho$ dénote le rayon de courbure en ce lieu de la courbe la plus courte. On aura ainsi

$\rho d\xi \ =\ \mathrm {X} dr,$

$\qquad \rho d\eta \ =\ \mathrm {Y} dr,\qquad$

$\rho d\zeta \ =\ \mathrm {Z} dr.$

XV.

Supposons que sur la surface courbe, il parte d’un point donné $\mathrm {A}$ une multitude de courbes de plus courte distance, que nous distinguerons entre elles par l’angle que forme le premier élément de chacune d’elles avec le premier élément de l’une de ces lignes prise pour la première ; soient $\varphi$ cet angle, ou plus généralement une fonction de cet angle, et $r$ la longueur de la ligne la plus courte du point $\mathrm {A}$ jusqu’au point dont les coordonnées sont $x,\ y,\ z.$ Comme, à des valeurs déterminées des variables $r,\varphi ,$ répondent des points déterminés de la surface, les coordonnées $x,\ y,\ z$ peuvent être considérées comme des fonctions de $r,\ \varphi .$ Nous conserverons d’ailleurs la même signification que dans l’article précédent aux notations $\lambda ,\ \mathrm {L} ,\ \xi ,\ \eta ,\ \zeta ,\ \mathrm {X,\ Y,\ Z} ,$ de façon à les rapporter généralement à un point quelconque d’une quelconque des lignes de plus courte distance.

Toutes les lignes de plus courte distance, qui sont d’une