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égale longueur $r,$ se termineront à une autre ligne, dont nous désignerons par $v$ la longueur comptée d’une origine arbitraire. On pourra ainsi considérer $v$ comme une fonction des indéterminées ${\displaystyle }$ et si nous désignons par ${\displaystyle }$ un point sur la surface de la sphère correspondant à la direction de l’élément $dv,$ et par $\xi ',\ \eta ',\ \zeta '$ les coordonnées de ce point par rapport au centre de la sphère, nous aurons

${\frac {dx}{d\varphi }}=\xi '.{\frac {dv}{d\varphi }},$

$\qquad {\frac {dy}{d\varphi }}=\eta '.{\frac {dv}{d\varphi }},\qquad$

${\frac {dz}{d\varphi }}=\zeta '.{\frac {dv}{d\varphi }}.$

De là et de

${\frac {dx}{dr}}=\xi ,$

$\qquad {\frac {dy}{dr}}=\eta ,\qquad$

${\frac {dz}{dr}}=\zeta ,$

il suit

${\frac {dx}{dr}}.{\frac {dx}{d\varphi }}+{\frac {dy}{dr}}.{\frac {dy}{d\varphi }}+{\frac {dz}{dr}}.{\frac {dz}{d\varphi }}=(\xi \xi '+\eta \eta '+\zeta \zeta '){\frac {dv}{d\varphi }}=\cos \lambda \lambda '.{\frac {dv}{d\varphi }}$

Désignons le premier membre de cette équation, qui sera aussi fonction de $r,\ \varphi ,$ par $\mathrm {S} \ ;$ sa différentiation suivant $r$ donne

${\frac {dS}{dr}}$	$=$	${\frac {d^{2}x}{dr^{2}}}.{\frac {dx}{\varphi }}+{\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}.{\frac {dx}{\varphi }}+{\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}.{\frac {dz}{\varphi }}$
		$+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[\left({\frac {dx}{dr}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dr}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dr}}\right)^{2}\right]}{d\varphi }}$
	$=$	${\frac {d\xi }{dr}}.{\frac {dx}{d\varphi }}+{\frac {d\eta }{dr}}.{\frac {dy}{d\varphi }}+{\frac {d\zeta }{dr}}.{\frac {dz}{d\varphi }}+{\frac {1}{2}}{\frac {d(\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2})}{d\varphi }}$

Mais $\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1\ ;$ par suite, sa différentielle est égale à zéro, et, par l’article précédent, nous avons, si $\rho$ désigne toujours le rayon de courbure dans la ligne $r,$

${\frac {d\xi }{dr}}={\frac {\mathrm {X} }{\rho }},$

$\qquad {\frac {d\eta }{dr}}={\frac {\mathrm {Y} }{\rho }},\qquad$

${\frac {d\zeta }{dr}}={\frac {\mathrm {Z} }{\rho }}.$