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XVIII.
Nous chercherons maintenant quelle est la condition pour que cette ligne soit la plus courte. Puisque la longueur de
est exprimée par l’intégrale
![{\displaystyle s=\int {\sqrt {\mathrm {E} dp^{2}+2\mathrm {F} dp.dq+\mathrm {G} dq^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e621b885698f1a3a471c2d1f6eb9bd8723a175d5)
la condition du minimum exige que la variation de cette
intégrale, venant d’un changement infiniment petit dans
la situation de cette ligne, devienne zéro. Le calcul, pour
cette recherche, se fait plus commodément dans ce cas,
si nous considérons
comme fonction de
Cela fait, si la variation est désignée par la caractéristique
, nous avons
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et l’on sait que l’expression sous le signe intégral doit
s’évanouir indépendamment de
On a ainsi
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
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De là nous tirons, pour la ligue la plus courte, l’équa-