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tion de condition suivante :

${\sqrt {\mathrm {EG-F^{2}} }}.d\theta ={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {E} }}.{\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.dp+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {E} }}.{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}.dp$

$-{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}.dp-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}.dq,$

qu’on peut aussi écrire ainsi :

${\sqrt {\mathrm {EG-F^{2}} }}.d\theta ={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {E} }}.d\mathrm {E} +{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}.dp-{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}.dp-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}.dq.$

Du reste, à l’aide de l’équation

$\cot \theta ={\frac {\mathrm {E} }{\sqrt {\mathrm {EG-F^{2}} }}}.{\frac {dp}{dq}}+{\frac {\mathrm {F} }{\sqrt {\mathrm {EG-F^{2}} }}}.$

on peut éliminer, de la précédente équation, l’angle $\theta ,$ et développer ainsi l’équation différentielle du second ordre entre $p$ et $q,$ qui se trouverait cependant plus compliquée et moins utile pour les applications que la précédente.

XIX.

Les formules générales que nous avons trouvées pour la mesure de la courbure et pour la variation de direction de la ligne de plus courte distance dans les art. XI, XVIII, deviennent beaucoup plus simples, si les quantités $p,\ q$ sont choisies de telle sorte que les lignes du premier système coupent toujours orthogonalement les lignes du second système, c’est-à-dire de telle sorte, qu’on ait généralement $\omega =90^{\circ }$ ou $\mathrm {F} =0.$ Alors on a, pour la mesure de la courbure,

$\mathrm {4E^{2}G^{2}} k=E.{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}+\mathrm {E} \left({\frac {d\mathrm {G} }{dp}}\right)^{2}+\mathrm {G} .{\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}+\mathrm {G} .\left({\frac {d\mathrm {E} }{dq}}\right)^{2}$

$-\mathrm {2EG} \left({\frac {d^{2}\mathrm {E} }{dq^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dp^{2}}}\right),$

et, pour la variation de l’angle $\theta ,$

${\sqrt {EG}}.d\theta ={\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}.dp-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}.dq.$