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Cherchons maintenant la courbure totale de ce triangle, qui est égale à $\int k d σ, d σ$ désignant l’élément superficiel du triangle ; et comme cet élément est exprimé par $m d p . d q,$ il faut prendre l’intégrale $\iint k m d p . d q$ pour toute la surface du triangle. Commençons par l’intégration suivant $p,$ laquelle, à cause de $k = - \frac{1}{m} \frac{d^{2} m}{d p^{2}},$ donne $d q . (const. - \frac{d m}{d p})$ pour la courbure totale de l’aire située entre les lignes du premier système auxquelles correspondent les valeurs de la seconde indéterminée $q, q + d q .$ Comme cette courbure doit devenir nulle pour $p = 0,$ la quantité constante introduite par l’intégration doit être égale à la valeur de $\frac{d m}{d p}$ pour $p = 0,$ c’est-à-dire à l’unité. Nous avons ainsi $d q . (1 - \frac{d m}{d p}),$ où il faut prendre pour $\frac{d m}{d p}$ la valeur correspondante à la fin de cette aire sur la ligne $C B$ . Mais, dans cette ligne, on a, par le paragraphe précédent,

\frac{d m}{d p} . d q = - d θ,

d’où notre expression se change en $d q + d θ .$ Par une seconde intégration prise depuis $q = 0$ jusqu’à $q = A,$ nous obtenons la courbure totale du triangle

= A + θ^{'} - θ^{\circ} = A + B + C - π .

La courbure totale est égale à l’aire de cette partie de la surface sphérique qui correspond au triangle, affectée du signe positif ou négatif, suivant que la surface courbe, sur laquelle est situé le triangle, est concavo-concave ou concavo-convexe ; pour unité d’aire, on doit prendre le carré, dont le côté est l’unité (le rayon de la sphère), et, par suite, la surface totale de la sphère égale $4 π .$ La partie de la surface sphérique correspondante au triangle est ainsi, à la surface entière de la sphère, comme $\pm (A + B + C - π)$