Page:Gauss - Recherches générales sur les surfaces courbes, 1852.djvu/41

Cette page a été validée par deux contributeurs.

( 39 )

l’une d’elles arbitrairement choisie, comme pour une valeur infiniment petite de $p,$ l’élément d’une ligne du second système (qu’on peut considérer comme un cercle décrit du rayon $p$ ), est égal à $p d q,$ on aura, pour une valeur infiniment petite de $p, m = p,$ et ainsi, pour $p = 0,$ on aura en même temps $m = 0$ et $\frac{d m}{d p} = 1.$

XX.

Arrêtons-nous encore à la même supposition, savoir, que $p$ désigne la longueur de la ligne la plus courte, menée d’un point déterminé $A$ à un point quelconque de la surface, et $q$ l’angle que le premier élément de cette ligne fait avec le premier élément d’une autre ligne donnée de plus courte distance, partant de $A$ . Soient $B$ un point déterminé sur cette ligue pour laquelle $q = 0,$ et $C$ un autre point déterminé de la surface, pour lequel nous désignerons simplement par $A$ la valeur de $q$ . Supposons les points $B$ et $C$ joints par la ligne la plus courte, dont les parties, comptées du point $B,$ seront désignées, comme dans l’art. XVIII, par $s,$ et, comme dans ce même article, $θ$ désignera l’angle qu’un élément quelconque $d s$ fait avec l’élément $d p;$ soient enfin $θ^{\circ}, θ^{'}$ les valeurs de l’angle $θ$ aux points $B$ et $C$ . Nous avons ainsi sur la surface courbe un triangle formé par des lignes de plus courte distance, dont les angles en $B$ et $C$ , que nous désignerons simplement par ces mêmes lettres, seront égaux, l’un au complément de $θ^{\circ}$ à 180 degrés, l’autre à l’angle $θ^{'}$ . Mais comme il est facile de voir, par notre analyse, que tous les angles sont exprimés, non en degrés, mais en nombres, de façon que l’angle $5 7^{\circ} 1 7^{'} 4 5^{″},$ auquel correspond l’arc égal au rayon, est pris pour unité, on doit poser, en désignant par $2 π$ la circonférence du cercle,

θ^{\circ} = π - B, θ^{'} = C .