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il vient

${\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {dn}{dq}}\ +\ {\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {d(\psi \ +\ \varphi )}{dp}}\ +\ r\cos \psi .{\frac {d(\psi +\varphi )}{dq}}\ =\ 0.$

De cette équation, à l’aide de la méthode des coefficients indéterminés, nous tirerons facilement la série suivante pour $\psi +\varphi ,$ si nous faisons attention que son premier terme doit être ${\tfrac {1}{2}}\pi ,$ le rayon étant pris pour unité, et $2\pi$ désignant la circonférence du cercle,

[6]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\psi +\varphi ={\frac {1}{2}}\pi -f^{0}pq&-{\frac {2}{3}}f'p^{2}q&&-\left({\frac {1}{2}}f''-{\frac {1}{6}}f^{0}f^{0}\right)p^{2}q-\dots \\&-g^{0}pq^{2}&&-{\frac {3}{4}}g'p^{2}q^{2}\\&&&-\left(h^{0}-{\frac {1}{3}}f^{0}f^{0}\right)pq^{3}.\end{alignedat}}\right.$

Il nous paraît utile de développer aussi en série l’aire du triangle $\mathrm {ABD}$. Nous nous servirons, pour ce développement, de l’équation de condition suivante, qui dérive facilement de considérations géométriques assez naturelles, et dans laquelle $\mathrm {S}$ désigne l’aire cherchée,

${\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {d\mathrm {S} }{dp}}\ +\ r\cos \psi .{\frac {d\mathrm {S} }{dq}}\ =\ {\frac {r\sin \psi }{n}}\int ndq,$

l’intégration commençant à $q=0.$ De là, en effet, nous obtenons, par la méthode des coefficients indéterminés,

[7]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}pq&-{\frac {1}{12}}f^{0}p^{3}q&&-{\frac {1}{20}}f'p^{4}q&&-\left({\frac {1}{30}}f''-{\frac {1}{60}}f^{0}f^{0}\right)p^{5}q-\dots \\&-{\frac {1}{12}}f^{0}pq^{3}&&-{\frac {3}{40}}g^{0}p^{3}q^{2}&&-{\frac {1}{20}}g'p^{4}q^{2}\\&&&-{\frac {7}{120}}f'p^{2}q^{3}&&-\left({\frac {1}{15}}h^{0}+{\frac {2}{45}}f''+{\frac {1}{60}}f^{0}f^{0}\right)p^{3}q^{3}\\&&&-{\frac {1}{10}}g^{0}pq^{4}&&-{\frac {3}{40}}g'p^{2}q^{4}\\&&&&&-\left({\frac {1}{10}}h^{0}-{\frac {1}{30}}f^{0}f^{0}\right)pq^{5}.\end{alignedat}}\right.$