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XXV.
Des formules de l’article précédent, qui se rapportent au triangle rectangle formé par des lignes de plus courte distance, passons à quelque chose de plus général. Soit sur la même ligne de plus courte distance
, un autre point
pour lequel
ne change pas, et les lettres
désignent pour le point
les mêmes choses que
pour le point
On forme ainsi, entre les points
un triangle dont nous désignons les angles par
les côtés opposés par
l’aire par
nous exprimerons la mesure de la courbure aux points
respectivement par
Supposant donc (ce qui est permis) que les quantités
sont positives, nous avons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathrm {A} \ &=\varphi -\varphi ',&\quad \mathrm {B} \ &=&\psi ,&\quad \mathrm {C} \ &=&\pi -\psi ',&\\a\ &=q-q',&b\ &=&r',&\quad c\ &=&r,&\quad \sigma &\ =\ &\mathrm {S-S'} .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ac795d9a79a87d29aad7e3c8fcebf55ebf1dfb)
Avant tout, exprimons l’aire
en série. En changeant dans la série [7] chacune des quantités relatives à
dans celles qui se rapportent à
il vient cette série pour
développée jusqu’aux quantités du sixième ordre,
![{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}(q-q')\left\{{\begin{alignedat}{3}1&-{\frac {1}{6}}f^{0}(p^{2}+q^{2}+qq'+q'^{2})\\&-{\frac {1}{60}}f'p(6p^{2}+7q^{2}+7qq'+7q'q')\\&-{\frac {1}{20}}g^{0}(q+q')(3p^{2}+4q^{2}+4qq'+4q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdb0c0b04b082b2f3d654214262bfff98d354e3)
Cette formule, à l’aide de la série [2], savoir,
![{\displaystyle c\sin \mathrm {B} =p\left(1-{\frac {1}{3}}f^{0}q^{2}-{\frac {1}{4}}f'pq^{2}-{\frac {1}{2}}g^{0}q^{3}-\dots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a06c3edc701110c771b176357d337aa408afe4e)
se change dans la suivante :