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C.-F. GAUSS
aisément que
![{\displaystyle p'+iq'={\text{Const.}}\qquad {\text{et}}\qquad p'-iq'={\text{Const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6fff1dee6d3b3c41fdb64f7764d28664306b80f)
représentent aussi des intégrales de l’équation différentielle
car elles sont tout à fait équivalentes aux équations
![{\displaystyle p+iq={\text{Const.}}\qquad {\text{et}}\qquad p-iq={\text{Const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1774cb5ed3692a4e75849c156fa458c2c7998e65)
De même les intégrales de l’équation différentielle
![{\displaystyle \mathrm {P'} +i\mathrm {Q'} ={\text{Const.}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {P'} -i\mathrm {Q'} ={\text{Const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f2dae9292a1d67c2217b9bed7cfa02a3dfebcb)
seront tout à fait équivalentes aux équations
![{\displaystyle \mathrm {P} +i\mathrm {Q} ={\text{Const.}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {P} -i\mathrm {Q} ={\text{Const.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ee7b404065aa7fbd6dccb17350878bcd740cfa)
si
représente une fonction quelconque déterminée de
[où
sont des fonctions réelles de
]. De là
résulte bien clairement que dans la solution générale de notre
problème, donnée dans l’Article précédent,
peuvent
remplacer
et
remplacer
Bien que la résolution
du problème ne gagne rien ainsi en généralité, néanmoins
il sera parfois plus commode dans les applications d’employer
tantôt l’une tantôt l’autre de ces formes.
VII
Si nous désignons respectivement par
et
les fonctions
provenant de la différentiation des fonctions arbitraires
de telle sorte que
![{\displaystyle df(v)=\varphi (v)dv,\qquad df(v)=\varphi _{1}(v)dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f248d5da2a2e9d5d79f5311a6d7d8277447208)