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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
mais pour que l’application en soit plus facile, nous ne craignons pas
d’ajouter les formules développées. Les formules générales seront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\sin(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=-&&b\cos(\mathrm {H} -\mathrm {A} )&{}+{}&a\cos(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\cos(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=&&b\sin(\mathrm {H} -\mathrm {A} )&{}-{}&a\sin(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1eb965e8750d534665a097fd0bccace56e19758)
de manière que pour
elles se changent en
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&={\frac {a\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )-b}{\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fba8451d171e8afb53114ebc83e90a841b3eb4)
Pour
elles prennent une forme semblable ; mais pour
elles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {a-b}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {a+b}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad280f91b6f026a6a5ff1c5bb1d9f17d120b2f87)
de sorte que par l’introduction de l’angle auxiliaire
, dont la tangente
il vient
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)=\operatorname {tang} (\zeta -45^{\circ }\!)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebc6a4d090f3e30b4999214a3c88c35427d85af)
.
Enfin, si nous désirons déterminer
immédiatement au moyen de
et de
sans faire le calcul préalable de l’angle
, nous avons la
formule
![{\displaystyle p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )={\sqrt {\left[a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3ac8239fa17b56fa95a72863c7c3a1c4229c8d)
,
aussi bien dans le problème actuel que dans II.
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Pour la détermination complète d’une section conique dans son
plan, trois quantités sont demandées : la position du périhélie, l’excentricité et le demi-paramètre. Si ces quantités doivent être déterminées d’après les quantités données qui en dépendent, il faut qu’il