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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

mais pour que l’application en soit plus facile, nous ne craignons pas d’ajouter les formules développées. Les formules générales seront

${\begin{alignedat}{5}p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\sin(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=-&&b\cos(\mathrm {H} -\mathrm {A} )&{}+{}&a\cos(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\cos(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=&&b\sin(\mathrm {H} -\mathrm {A} )&{}-{}&a\sin(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\end{alignedat}}$

de manière que pour $\mathrm {H} =\mathrm {A}$ elles se changent en

${\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&={\frac {a\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )-b}{\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a.\end{aligned}}$

Pour $\mathrm {H} =\mathrm {B}$ elles prennent une forme semblable ; mais pour $\mathrm {H} ={\frac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )$ elles deviennent

${\begin{aligned}p\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {a-b}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {a+b}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\end{aligned}}$

de sorte que par l’introduction de l’angle auxiliaire $\zeta$, dont la tangente $={\frac {a}{b}},$ il vient

$\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)=\operatorname {tang} (\zeta -45^{\circ }\!)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )$.

Enfin, si nous désirons déterminer $p$ immédiatement au moyen de $a$ et de $b,$ sans faire le calcul préalable de l’angle $\mathrm {P}$, nous avons la formule

$p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )={\sqrt {\left[a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\right]}}$,

aussi bien dans le problème actuel que dans II.

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Pour la détermination complète d’une section conique dans son plan, trois quantités sont demandées : la position du périhélie, l’excentricité et le demi-paramètre. Si ces quantités doivent être déterminées d’après les quantités données qui en dépendent, il faut qu’il