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LIVRE I, SECTION III.
tion de l’angle
par sa tangente ; mais en l’absence de cette
condition, l’incertitude sera levée arbitrairement. Pour la plus grande
facilité du calcul, il sera convenable de prendre l’angle auxiliaire
ou
ou
Dans le premier cas, les équations,
pour la détermination de
et
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&={\frac {b-a\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}{\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93190e7c87f827a44782e374c906f0fea7d5428)
Dans le second cas, les équations seront entièrement analogues ;
mais dans le troisième on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {b+a}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {b-a}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c51071080d23a93cd643c6facfb6d208c8b1c02)
Et alors, si l’on introduit l’angle auxiliaire
, dont la tangente
, on trouvera
par la formule
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\zeta )\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f088cdff0b5bb5579b7c6373a1e929043e96c2)
,
et ensuite
par l’une des formules précédentes, dans lesquelles
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}(b+a)&=\sin(45^{\circ }\!+\zeta ){\sqrt {\frac {ab}{\sin 2\zeta }}}\\&={\frac {a\sin(45^{\circ }\!+\zeta )}{\sin \zeta {\sqrt {2}}}}={\frac {b\sin(45^{\circ }\!+\zeta )}{\cos \zeta {\sqrt {2}}}},\\[1ex]{\frac {1}{2}}(b-a)&=\cos(45^{\circ }\!+\zeta ){\sqrt {\frac {ab}{\sin 2\zeta }}}\\&={\frac {a\cos(45^{\circ }\!+\zeta )}{\sin \zeta {\sqrt {2}}}}={\frac {b\cos(45^{\circ }\!+\zeta )}{\cos \zeta {\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ecf15e73f24ce42a73b54266116345db37360e)
III. Si
et
doivent être déterminées d’après les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\cos(\mathrm {B} -\mathrm {P} )&=b,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5345d32319c43cd9530314b6f9ba3e604616e100)
tout ce qui est exposé dans II peut immédiatement s’appliquer,
pourvu qu’à la place de
et
on mette partout
![{\displaystyle 90^{\circ }\!+\mathrm {B} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a344bc2bc72a9fc632a5ec60fc0f96ed57adf644)