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LIVRE I, SECTION III.

tion de l’angle $\mathrm {H} -\mathrm {P}$ par sa tangente ; mais en l’absence de cette condition, l’incertitude sera levée arbitrairement. Pour la plus grande facilité du calcul, il sera convenable de prendre l’angle auxiliaire $\mathrm {H} =\mathrm {A}$ ou $=\mathrm {B}$ ou $={\frac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} ).$ Dans le premier cas, les équations, pour la détermination de $\mathrm {P}$ et $p,$ seront

${\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&={\frac {b-a\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}{\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}}.\end{aligned}}$

Dans le second cas, les équations seront entièrement analogues ; mais dans le troisième on aura

${\begin{aligned}p\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {b+a}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {b-a}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}}.\end{aligned}}$

Et alors, si l’on introduit l’angle auxiliaire $\zeta$, dont la tangente $={\frac {a}{b}}$, on trouvera $\mathrm {P}$ par la formule

$\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\zeta )\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )$,

et ensuite $p$ par l’une des formules précédentes, dans lesquelles

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}(b+a)&=\sin(45^{\circ }\!+\zeta ){\sqrt {\frac {ab}{\sin 2\zeta }}}\\&={\frac {a\sin(45^{\circ }\!+\zeta )}{\sin \zeta {\sqrt {2}}}}={\frac {b\sin(45^{\circ }\!+\zeta )}{\cos \zeta {\sqrt {2}}}},\\[1ex]{\frac {1}{2}}(b-a)&=\cos(45^{\circ }\!+\zeta ){\sqrt {\frac {ab}{\sin 2\zeta }}}\\&={\frac {a\cos(45^{\circ }\!+\zeta )}{\sin \zeta {\sqrt {2}}}}={\frac {b\cos(45^{\circ }\!+\zeta )}{\cos \zeta {\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}$

III. Si $p$ et $\mathrm {P}$ doivent être déterminées d’après les équations

${\begin{aligned}p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\cos(\mathrm {B} -\mathrm {P} )&=b,\end{aligned}}$

tout ce qui est exposé dans II peut immédiatement s’appliquer, pourvu qu’à la place de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ on mette partout $90^{\circ }\!+\mathrm {A} ,$ $90^{\circ }\!+\mathrm {B} \,;$