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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

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Si l’angle $\Pi$ est donné, $p$ et $e$ seront déterminés au moyen des équations

${\begin{aligned}p&={\frac {rr'\left[\cos(\mathrm {N} -\Pi )-\cos(\mathrm {N} '-\Pi )\right]}{r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )}},\\e&={\frac {r'-r}{r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )}},\end{aligned}}$

On peut réduire le dénominateur commun dans ces formules, à la forme $a\cos(\mathrm {A} -\Pi ),$ de telle sorte que $a$ et $\mathrm {A}$ soient indépendantes de $\Pi .$ En désignant en effet par $\mathrm {H}$ un angle arbitraire, nous avons

${\begin{alignedat}{5}r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-&{}r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )&=&\\{}&{\big [}r\cos(\mathrm {N} -\mathrm {H} )&{}-{}&r'\cos(\mathrm {N} '-\mathrm {H} ){\big ]}&&\cos(\mathrm {H} -\Pi )\\-{}&{\big [}r\sin(\mathrm {N} -\mathrm {H} )&{}-{}&r'\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {H} ){\big ]}&&\sin(\mathrm {H} -\Pi ),\end{alignedat}}$

et par suite,

$=a\cos(\mathrm {A} -\Pi )$,

si $a$ et $\mathrm {A}$ sont déterminées par les équations

${\begin{aligned}r\cos(\mathrm {N} -\mathrm {H} )-r'\cos(\mathrm {N} '-\mathrm {H} )&=a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {H} ),\\r\sin(\mathrm {N} -\mathrm {H} )-r'\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {H} )&=a\sin(\mathrm {A} -\mathrm {H} ),\end{aligned}}$

De cette manière il vient.

${\begin{aligned}p&={\frac {2rr'\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\sin \left({\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} +{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right)}{a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {B} )}},\\e&={\frac {r'-r}{a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {B} )}}.\end{aligned}}$

Ces formules sont principalement commodes toutes les fois que $p$ et $e$ sont calculés pour plusieurs valeurs de $\Pi \,;$ $r,$ $r',$ $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N} '$ ne changeant pas. — Comme pour le calcul des quantités auxiliaires $a,$ $\mathrm {A}$ il est permis de prendre l’angle $\mathrm {H}$ arbitrairement, on pourra alors poser $\mathrm {H} ={\frac {1}{2}}(\mathrm {N} +\mathrm {N} '),$ d’après quoi les formules se changent en celles-ci :

${\begin{aligned}(r'-r)\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )&=-a\cos \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right),\\(r+r')\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )&=-a\sin \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right).\end{aligned}}$