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LIVRE I, SECTION III.

L’angle $\mathrm {A}$ étant donc déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)={\frac {r'+r}{r'-r}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )$,

on a aussitôt

$e=-{\frac {\cos \left(\mathrm {A} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)}{\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\cos(\mathrm {A} -\Pi )}}$.

Le calcul du logarithme de l’expression ${\frac {r'+r}{r'-r}}$ pourra se simplifier par une méthode déjà souvent expliquée.

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Si l’excentricité est donnée, on trouve l’angle $\Pi$ par l’équation

$\cos(\mathrm {A} -\Pi )=-{\frac {\cos \left(\mathrm {A} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)}{e\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}$,

après que l’angle auxiliaire $\mathrm {A}$ a été déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)={\frac {r'+r}{r'-r}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )$.

L’ambiguïté qui existe dans la détermination de l’angle $\mathrm {A} -\Pi$, par son cosinus, résulte de la nature du problème, de manière qu’on peut satisfaire à la question par deux solutions différentes ; il faudra décider, d’autre part, laquelle devra être adoptée et laquelle rejetée ; dans ce but, la valeur au moins approchée de $\Pi$ devra déjà être connue. — Une fois $\Pi$ trouvé, on calculera $p$ par les formules

$p=r\left[1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi )\right]=r'\left[1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi )\right]$,

ou par celle-ci :

$p={\frac {2rr'e\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\sin \left({\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -\Pi \right)}{r'-r}}$