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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {8}{3}}\left[\alpha x+(2\beta -\alpha )x^{2}+(3\gamma -2\beta )x^{3}+(4\delta -3\gamma )x^{4}+\,\mathrm {etc.} \right]\\={}&(8-4\alpha )x+(8\alpha -4\beta )x^{2}+(8\beta -4\gamma )x^{3}+(8\gamma -4\delta )x^{4}+\,\mathrm {etc.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2740e86edc6c3859421c8ebe0c5d24a848816c40)
qui doit être identique.
De là, nous concluons
![{\displaystyle \delta ={\frac {12}{11}}\gamma \dots \mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fca6d1080a14b892c53b8cd410dd28d14bbe751)
d’où l’on déduit la loi de la progression. Nous avons donc
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {4}{3}}+{\frac {4.6}{3.5}}x+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}x^{3}+{\frac {4.6.8.10.12}{3.5.7.9.11}}x^{4}+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d3d5f2b393d8013ccd0bba4d3efd75eb28c410)
On peut transformer cette série en la fraction continue suivante :
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\cfrac {\cfrac {4}{3}}{1-{\cfrac {{\cfrac {6}{5}}x}{1+{\cfrac {{\cfrac {2}{5.7}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {5.8}{7.9}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {1.4}{9.11}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {7.10}{11.13}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {3.6}{13.15}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {9.12}{15.17}}x}{1-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5c96f96d7ee53914a441d902df1d5fbbc74810)
La loi suivant laquelle se forment les coefficients
etc., est évidente ; le
ième terme de cette série, si
est pair, est
et si
est impair,
un