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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

${\begin{aligned}&{\frac {8}{3}}\left[\alpha x+(2\beta -\alpha )x^{2}+(3\gamma -2\beta )x^{3}+(4\delta -3\gamma )x^{4}+\,\mathrm {etc.} \right]\\={}&(8-4\alpha )x+(8\alpha -4\beta )x^{2}+(8\beta -4\gamma )x^{3}+(8\gamma -4\delta )x^{4}+\,\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

qui doit être identique.

De là, nous concluons

$\alpha ={\frac {6}{5}},$  $\beta ={\frac {8}{7}}\alpha ,$  $\gamma ={\frac {10}{9}}\beta ,$  $\delta ={\frac {12}{11}}\gamma \dots \mathrm {etc.} ,$

d’où l’on déduit la loi de la progression. Nous avons donc

$\mathrm {X} ={\frac {4}{3}}+{\frac {4.6}{3.5}}x+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}x^{3}+{\frac {4.6.8.10.12}{3.5.7.9.11}}x^{4}+\mathrm {etc.}$

On peut transformer cette série en la fraction continue suivante :

$\mathrm {X} ={\cfrac {\cfrac {4}{3}}{1-{\cfrac {{\cfrac {6}{5}}x}{1+{\cfrac {{\cfrac {2}{5.7}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {5.8}{7.9}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {1.4}{9.11}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {7.10}{11.13}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {3.6}{13.15}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {9.12}{15.17}}x}{1-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}}}}}}}$

La loi suivant laquelle se forment les coefficients ${\frac {6}{5}},$ $-{\frac {2}{5.7}},$ ${\frac {5.8}{7.9}},$ ${\frac {1.4}{9.11}},$ etc., est évidente ; le $n$^ième terme de cette série, si $n$ est pair, est $={\frac {n-3n}{(2n+1)(2n+3)}},$ et si $n$ est impair, $={\frac {(n+2)(n+5)}{(2n+1)(2n+3)}}\,;$ un