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LIVRE I, SECTION III.

puissances croissantes de $\sin {\frac {1}{2}}g.$ Le numérateur de cette expression que nous désignons par $\mathrm {X} ,$ devient

$={\frac {32}{3}}\sin ^{3}{\frac {1}{2}}g-{\frac {16}{5}}\sin ^{5}{\frac {1}{2}}g-{\frac {4}{7}}\sin ^{7}{\frac {1}{2}}g-\dots \mathrm {etc.}$

et le dénominateur

$=8\sin ^{3}{\frac {1}{2}}g-12\sin ^{5}{\frac {1}{2}}g+3\sin ^{7}{\frac {1}{2}}g+\dots \mathrm {etc.}$

d’où $\mathrm {X}$ prend la forme

${\frac {4}{3}}+{\frac {8}{5}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g+{\frac {64}{35}}\sin ^{4}{\frac {1}{2}}g+\dots \mathrm {etc.}$

Mais pour mettre en évidence la loi des coefficients de cette série, différentions l’équation

$\mathrm {X} \sin ^{3}g=2g-\sin 2g\,;$

d’où l’on déduit

$3\mathrm {X} \cos g\sin ^{2}g+\sin ^{3}g{\frac {d\mathrm {X} }{dg}}=2-2\cos 2g=4\sin ^{2}g.$

En posant en outre

$\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g=x,$

on a

${\frac {dx}{dg}}={\frac {1}{2}}\sin g,$

d’où l’on conclut

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}={\frac {8-6\mathrm {X} \cos g}{\sin ^{2}g}}={\frac {4-3\mathrm {X} (1-2x)}{2x(1-x)}},$

et par conséquent

$(2x-2x^{2}){\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=4-(3-6x)\mathrm {X} .$

Si donc, nous posons

$\mathrm {X} ={\frac {4}{3}}(1+\alpha x+\beta x^{2}+\gamma x^{3}+\delta x^{4}+\dots \mathrm {etc.} ),$

nous obtenons l’équation