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LIVRE I, SECTION IV.

$\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\lambda +{\frac {1}{2}}\lambda '-{\text{☊ }}\right)={\frac {\sin(\beta '+\beta )\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}(\lambda '-\lambda )}{\sin(\beta '-\beta )}},$

formule certainement un peu plus commode, si les angles $\beta ,$ $\beta '$ sont donnés immédiatement, et non par les logarithmes de leurs tangentes ; mais, pour la détermination de $i,$ on aura recours à l’une des formules

$\operatorname {tang} i={\frac {\operatorname {tang} \beta }{\sin(\lambda -{\text{☊ }})}}={\frac {\operatorname {tang} \beta '}{\sin(\lambda '-{\text{☊ }})}}.$

Au reste, l’ambiguïté dans la détermination de l’angle

$\lambda -{\text{☊ }}$  ou  ${\frac {1}{2}}\lambda +{\frac {1}{2}}\lambda '-{\text{☊ }}$

par sa tangente, sera décidée par la considération que $\operatorname {tang} i$ doit être positif ou négatif selon que le mouvement projeté sur l’écliptique est direct ou rétrograde : c’est pourquoi, on ne peut alors lever cette incertitude que dans le cas où l’on peut constater dans quelle direction le corps céleste a passé de la première position à la seconde. Si ceci ne pouvait être déterminé, il serait certainement impossible de distinguer le nœud ascendant du nœud descendant.

Une fois les angles ${\text{☊ }}$ et $i$ déterminés, on obtiendra les arguments de la latitude $u,$ $u',$ par les formules

$\operatorname {tang} u={\frac {\operatorname {tang} (\lambda -{\text{☊ }})}{\cos i}},\qquad \operatorname {tang} u'={\frac {\operatorname {tang} (\lambda '-{\text{☊ }})}{\cos i}}$

qui doivent être prises dans le premier demi-cercle ou dans le second, suivant que les latitudes correspondantes sont boréales ou australes. À ces formules nous ajoutons encore les suivantes, dont l’une ou l’autre pourra, si cela convient, être employée dans la pratique à s’assurer de l’exactitude du calcul :

${\begin{aligned}\cos u&=\cos \beta \cos(\lambda -{\text{☊ }}),&\cos u'&=\cos \beta '\cos(\lambda '-{\text{☊ }}),\\\sin u&={\frac {\sin \beta }{\sin i}},&\sin u'&={\frac {\sin \beta '}{\sin i'}},\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin(u'+u)&={\frac {\sin(\lambda +\lambda '-2{\text{☊ }})\cos \beta \cos \beta '}{\cos i}},\\\sin(u'-u)&={\frac {\sin(\lambda '-\lambda )\cos \beta \cos \beta '}{\cos i}}.\end{aligned}}$