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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ESPACE.

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Supposons, en second lieu, que les deux positions de l’astre soient données par leurs distances à trois plans passant par le Soleil et se coupant à angles droits ; désignons ces distances par $x,$ $y,$ $z$ pour le premier lieu, par $x',$ $y',$ $z'$ pour le second, et supposons que le troisième plan soit le plan de l’écliptique lui-même, et aussi que les pôles positifs du premier et du second plan soient situés par les longitudes $\mathrm {N} ,$ et $90^{\circ }\!+\mathrm {N} .$ On aura ainsi, d’après l’art. 53, les deux rayons vecteurs étant désignés par $r$ et $r',$

${\begin{aligned}x&=r\cos u\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})+r\sin u\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos i,\\y&=r\sin u\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos i-r\cos u\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }}),\\z&=r\sin u\sin i.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x'&=r'\cos u'\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})+r'\sin u'\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos i,\\y'&=r'\sin u'\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos i-r'\cos u'\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }}),\\z'&=r'\sin u'\sin i.\end{aligned}}$

Il suit de là

${\begin{aligned}zy'-yz'&=rr'\sin(u'-u)\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\sin i,\\xz'-zx'&=rr'\sin(u'-u)\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\sin i,\\xy'-yx'&=rr'\sin(u'-u)\cos i.\end{aligned}}$

En combinant la première formule avec la seconde on aura $\mathrm {N} -{\text{☊ }}$ et $rr'\sin(u'-u)\sin i$ et de là, au moyen de la troisième formule, on obtiendra $i$ et $rr'\sin(u'-u).$

Puisque le lieu auquel répondent les coordonnées $x',$ $y',$ $z'$ est supposé postérieur en temps, $u'$ doit être plus grand que $u\,;$ si donc on sait en outre, si l’angle décrit autour du Soleil entre le premier et le second lieu est plus petit ou plus grand que deux angles droits, $rr'\sin(u'-u)\sin i$ et $rr'\sin(u'-u)$ devront être des quantités positives dans le premier cas, et négatives dans le second : $\mathrm {N} -{\text{☊ }}$ sera donc alors déterminé sans ambiguïté, en même temps que du signe de la quantité $xy'-yx'$ on décidera si le mouvement est direct ou bien rétrograde. Réciproquement, si l’on est certain de la direction du mouvement, on pourra, d’après le signe de la quantité $xy'-yx',$ décider si $u'-u$ doit être pris plus petit ou plus grand que 180°. Mais si non-seulement la direction du mouvement, mais encore la nature de l’angle décrit autour du Soleil sont entièrement