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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ESPACE.
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Supposons, en second lieu, que les deux positions de l’astre soient
données par leurs distances à trois plans passant par le Soleil et se
coupant à angles droits ; désignons ces distances par
pour le
premier lieu, par
pour le second, et supposons que le troisième plan soit le plan de l’écliptique lui-même, et aussi que les pôles
positifs du premier et du second plan soient situés par les longitudes
et
On aura ainsi, d’après l’art. 53, les deux rayons
vecteurs étant désignés par
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos u\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})+r\sin u\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos i,\\y&=r\sin u\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos i-r\cos u\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }}),\\z&=r\sin u\sin i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32366fc1d91ca5dde9271668f355ab5b6558bb05)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=r'\cos u'\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})+r'\sin u'\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos i,\\y'&=r'\sin u'\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\cos i-r'\cos u'\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }}),\\z'&=r'\sin u'\sin i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4088e23a5c16110de954a069daf3ab41515974ba)
Il suit de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}zy'-yz'&=rr'\sin(u'-u)\sin(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\sin i,\\xz'-zx'&=rr'\sin(u'-u)\cos(\mathrm {N} -{\text{☊ }})\sin i,\\xy'-yx'&=rr'\sin(u'-u)\cos i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98dffb6eadddfd4e64a50a463682e3daa75e9cd)
En combinant la première formule avec la seconde on aura
et
et de là, au moyen de la troisième formule, on
obtiendra
et
Puisque le lieu auquel répondent les coordonnées
est
supposé postérieur en temps,
doit être plus grand que
si donc
on sait en outre, si l’angle décrit autour du Soleil entre le premier
et le second lieu est plus petit ou plus grand que deux angles
droits,
et
devront être des quantités positives dans le premier cas, et négatives dans le second :
sera donc alors déterminé sans ambiguïté, en même temps
que du signe de la quantité
on décidera si le mouvement
est direct ou bien rétrograde. Réciproquement, si l’on est certain de
la direction du mouvement, on pourra, d’après le signe de la quantité
décider si
doit être pris plus petit ou plus grand
que 180°. Mais si non-seulement la direction du mouvement, mais
encore la nature de l’angle décrit autour du Soleil sont entièrement