Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/190

171

RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ESPACE.

114

En multipliant l’équation [1] par $\sin \alpha ''\operatorname {tang} \mathrm {B} ''-\sin \mathrm {L} ''\operatorname {tang} \beta '',$ l’équation [2] par $\cos \mathrm {L} ''\operatorname {tang} \beta ''-\cos \alpha ''\operatorname {tang} \mathrm {B} '',$ et l’équation [3] par $\sin(\mathrm {L} ''-\alpha ''),$ et en ajoutant les produits, on trouve

[4]

$0=n\left[{\text{(0.2.II)}}\delta +{\text{(O.2.II)}}\mathrm {D} \right]-n'\left[{\text{(1.2.II)}}\delta '+{\text{(I.2.II)}}\mathrm {D} '\right]$

et de la même manière, ou plus commodément par la seule permutation des lieux entre eux,

[5]

$0=n\left[{\text{(0.1.I)}}\delta +{\text{(O.1.I)}}\mathrm {D} \right]+n''\left[{\text{(2.1.I)}}\delta ''+{\text{(II.1.I)}}\mathrm {D} ''\right]$

[6]

$\quad 0=n'\left[{\text{(1.0.O)}}\delta '+{\text{(I.0.O)}}\mathrm {D} '\right]-n''\left[{\text{(2.0.O)}}\delta ''+{\text{(II.0.O)}}\mathrm {D} ''\right]$

Par conséquent, si le rapport des quantités $n,$ $n'$ est donné, on pourra au moyen de l’équation 4, déterminer $\delta '$ en fonction de $\delta ,$ ou $\delta$ en fonction de $\delta '\,;$ et semblablement d’après les équations 5 et 6.

De la combinaison des équations 4, 5 et 6 naît la suivante,

[7]

${\begin{aligned}{\frac {{\text{(0.2.II)}}\delta +{\text{(O.2.II)}}\mathrm {D} }{{\text{(0.1.I)}}\delta +{\text{(O.1.I)}}\mathrm {D} }}&\times {\frac {{\text{(1.0.O)}}\delta '+{\text{(I.0.O)}}\mathrm {D} '}{{\text{(1.2.II)}}\delta '+{\text{(I.2.II)}}\mathrm {D} '}}\\&\times {\frac {{\text{(2.1.I)}}\delta ''+{\text{(II.1.I)}}\mathrm {D} ''}{{\text{(2.0.O)}}\delta ''+{\text{(II.0.O)}}\mathrm {D} ''}}=-1\end{aligned}}$

au moyen de laquelle, d’après deux distances du corps céleste à la Terre, on peut déterminer la troisième. Mais il peut être démontré que cette équation 7 devient identique, et par suite impropre pour la détermination d’une distance en fonction des deux autres, toutes les fois que l’on aura $\mathrm {B} =\mathrm {B} '=\mathrm {B} ''=0,$ et

$\left.{\begin{array}{r}\operatorname {tang} \beta '\operatorname {tang} \beta ''\sin(\mathrm {L} -\alpha )\sin(\mathrm {L} ''-\mathrm {L} ')\\+\operatorname {tang} \beta ''\operatorname {tang} \beta \sin(\mathrm {L} '-\alpha ')\sin(\mathrm {L} -\mathrm {L} '')\\+\operatorname {tang} \beta \operatorname {tang} \beta '\sin(\mathrm {L} ''-\alpha '')\sin(\mathrm {L} '-\mathrm {L} )\end{array}}\right\}=0.$

La formule suivante qui découle des équations 1, 2, 3 est affranchie de cet inconvénient :

[8]

${\begin{aligned}{\text{(0.1.2)}}\delta \delta '\delta ''&+{\text{(O.1.2)}}\mathrm {D} \delta '\delta ''+{\text{(0.I.2)}}\mathrm {D} '\delta \delta ''+{\text{(0.1.II)}}\mathrm {D} ''\delta \delta '\\&+{\text{(0.I.II)}}\mathrm {D} '\mathrm {D} ''\delta +{\text{(O.1.II)}}\mathrm {DD} ''\delta '+{\text{(O.I.2)}}\mathrm {DD} '\delta ''\\+{\text{(O.I.II)}}\mathrm {DD'D} ''&=0.\end{aligned}}$

En multipliant l’équation 1 par $\sin \alpha '\operatorname {tang} \beta ''-\sin \alpha ''\operatorname {tang} \beta ',$ l’équation 2 par $\cos \alpha ''\operatorname {tang} \beta '-\cos \alpha '\operatorname {tang} \beta '',$ l’équation 3 par $\sin(\alpha ''-\alpha '),$ et ajoutant les produits, on trouve

[9]

$0=n\left[{\text{(0.1.2)}}\delta +{\text{(O.1.2)}}\mathrm {D} \right]-n'{\text{(I.1.2)}}\mathrm {D} '+n''{\text{(II.1.2)}}\mathrm {D} ''$