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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

${\begin{aligned}\xi &=a+{\frac {(a'-a)(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+(a''-a)(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\\[0.75ex]\eta &=b\,+\;{\frac {(b'-b)(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+(b''-b)(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\end{aligned}}$

Il est évident aussi, que l’on peut changer, dans ces formules, les quantités $a,\,b,\,\mathrm {A} ,\,\mathrm {B}$ avec $a',\,b',\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {B} ',$ ou avec $a'',\,b'',\,\mathrm {A} '',\,\mathrm {B} ''.$

Au reste, le dénominateur commun de toutes ces expressions, que l’on peut aussi écrire sous la forme

$(\mathrm {A} '-\mathrm {A} )(\mathrm {B} ''-\mathrm {B} )-(\mathrm {A} ''-\mathrm {A} )(\mathrm {B} '-\mathrm {B} )$

devient égal à

$(\alpha \delta -\beta \gamma )\left[(a'-a)(b''-b)-(a''-a)(b'-b)\right]\,;$

d’où il est évident, que $a,\,a',\,a'',\,b,\,b',\,b''$ doivent être pris de telle sorte que l’on n’ait pas

${\frac {a''-a}{b''-b}}={\frac {a'-a}{b'-b}}\,;$

autrement, en effet, cette méthode ne serait pas applicable, mais fournirait pour $\xi$ et $\eta$ des valeurs fractionnaires, dont les numérateurs et les dénominateurs s’évanouiraient ensemble. De là, il est en même temps évident, que si par hasard on a

$\alpha \delta -\beta \gamma =0,$

la même défectuosité de la méthode en défend entièrement l’usage, de quelque manière que l’on choisisse $a,$ $a',$ $a'',$ $b,$ $b',$ $b''.$ Dans un tel cas, il faudrait supposer aux valeurs de $\mathrm {X}$ une forme telle que

$\alpha \lambda +\beta \mu +\varepsilon \lambda ^{2}+\zeta \lambda \mu +\theta \mu ^{2},$

cl de même pour les valeurs de $\mathrm {Y} \,;$ d’après quoi, l’analyse fournirait des méthodes analogues à la précédente pour trouver, au moyen des valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ calculées pour quatre systèmes de valeurs de $x$ et $y,$ les valeurs exactes de ces dernières. Mais, de cette manière, le calcul deviendrait très-pénible, et, en outre, on peut faire voir que dans un tel cas, la détermination de l’orbite, par la nature même de la question n’admet pas la précision nécessaire ; puisque cet inconvénient ne peut être évité autrement qu’en obtenant de nouvelles observations plus convenables, nous ne nous arrêterons pas ici davantage à cette question.