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LIVRE I, SECTION I.

La dernière formule de l’article précédent, relative à $r$ devient, d’après cela,

${\begin{aligned}r&={\frac {p\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{(1+e)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}=p\left({\frac {\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1+e}}+{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1-e}}\right)\\&={\frac {p}{1-e^{2}}}(1-e\cos \mathrm {E} ).\end{aligned}}$

On a ensuite

${\frac {d\mathrm {E} }{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }}={\frac {dv}{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}},$

et, par suite,

$dv={\frac {p\,d\mathrm {E} }{r{\sqrt {1-e^{2}}}}}\,;$

d’où

$r^{2}dv={\frac {r.p\,d\mathrm {E} }{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac {3}{2}}}}(1-e\cos \mathrm {E} )\,d\mathrm {E} ,$

et, en intégrant,

$kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}={\frac {p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac {3}{2}}}}(\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} )+$ constante.

Mais si nous considérons le moment où l’astre est à son périhélie, on a $v=0,\,\mathrm {E} =0$ et par suite la constante nulle ; il vient ainsi, à cause de ${\frac {p}{1-e^{2}}}=a,$

$\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} ={\frac {kt{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{a^{\frac {3}{2}}}}\cdot$

Dans cette équation, l’angle auxiliaire $\mathrm {E}$, que l’on nomme Anomalie excentrique, doit être exprimé en parties du rayon^(*)[1]. Mais il est évident que l’on peut conserver cet angle en degrés si $e\sin \mathrm {E}$ et ${\frac {kt{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{a^{\frac {3}{2}}}}$ sont aussi exprimés de la même manière ; ces quantités seront exprimées en secondes d’arc si elles sont multipliées par le nombre $206264,81.$ Nous pouvons ne pas effectuer cette multiplication relativement à la dernière quantité, si nous exprimons d’abord la quantité $k$ en secondes, c’est-à-dire si à la place de la valeur donnée ci-dessus nous posons $k=3548''\!,18761$ dont le logarithme $=3,5500065746.$ De cette manière la quantité exprimée par

1. ^(*) Note wikisource : les parties du rayon sont des radians.