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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

$r={\frac {p}{(1+e)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v+(1-e)\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}.$

Dans la parabole, nous avons par conséquent

$r={\frac {p}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}\ ;$

dans l’hyperbole, l’expression suivante est principalement commode

$r={\frac {p\cos \psi }{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}}.$

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Nous allons maintenant comparer le mouvement avec le temps. En posant, comme dans l’art. 1, l’espace décrit dans le temps $t$ autour du Soleil $={\frac {1}{2}}g,$ la masse du corps en mouvement $=\mu ,$ celle du Soleil étant supposée $=1,$ nous avons $g=kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}.$ Mais la différentielle de l’aire $={\frac {1}{2}}r^{2}\,dv\,;$ on en déduit

$kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}=\int r^{2}\,dv,$

cette intégrale étant prise de manière qu’elle s’évanouisse pour $t=0.$

Cette intégration doit être traitée de différentes manières suivant les divers genres de sections coniques ; c’est pourquoi nous allons considérer chacun d’eux séparément en commençant par l’ELLIPSE.

Comme $r$ est déterminé d’après $v$ au moyen d’une expression fractionnaire dont le dénominateur contient deux termes, débarassons-nous avant tout de cette incommodité, en substituant une nouvelle quantité à la place de $v.$

Posons, dans ce but,

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {1-{\overset {}{e}}}{1+e}}}=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} .$