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LIVRE II, SECTION II.

(mise en forme de l’énumération des symboles, voir la page de discussion)

$(n01),\,(n12),\,(n23),\,(n02),\,(n13),$ le double des aires des triangles qui sont respectivement compris entre le Soleil, la première et la seconde position de l’astre, la seconde et la troisième, la troisième et la quatrième, la première et la troisième, la seconde et la quatrième ;

$(\eta 01),(\eta 12),(\eta 23)$ les quotients obtenus par la division des aires ${\frac {1}{2}}(n01),\,{\frac {1}{2}}(n12),\,{\frac {1}{2}}(n23),$ par les aires des secteurs correspondants ;

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} '&={\frac {(n12)}{(n01)}},&\mathrm {P} ''&={\frac {(n12)}{(n23)}},\\\mathrm {Q} '&=\left[{\frac {(n01)\!+\!(n12)}{(n02)}}-1\right]r'^{3},\quad &\mathrm {Q} ''&=\left[{\frac {(n12)\!+\!(n23)}{(n13)}}-1\right]r''^{3},&\end{alignedat}}$

$v,\,v',\,v'',\,v''',$ les longitudes de la planète, dans l’orbite, comptées d’un point arbitraire.

Désignons enfin par $\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} '',$ les positions héliocentriques de la Terre sur la sphère céleste dans la seconde et la troisième observation, par $\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} '',$ les lieux géocentriques de l’astre et par $\mathrm {C} ',\,\mathrm {C} '',$ ses positions héliocentriques.

Ceci étant compris, le premier travail consistera, de même que dans le problème de la section précédente (art. 136), dans la détermination de la position des grands cercles $\mathrm {A'C'B'} ,$ $\mathrm {A''C''B''}$ dont nous désignons les inclinaisons sur l’écliptique par $\gamma ',\,\gamma ''\,;$ nous joindrons en même temps à ce calcul la détermination des arcs $\mathrm {A'B'} =\delta ',$ $\mathrm {A''B''} =\delta ''.$

De là, nous aurons évidemment,

${\begin{aligned}r'&={\sqrt {\rho '^{2}+2\,\rho '\,\mathrm {R} '\cos \delta '+\mathrm {R} '^{2}}}\\r''&={\sqrt {\rho ''^{2}\!+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos \delta ''\!+\mathrm {R} ''^{2}}},\end{aligned}}$

ou, en posant

${\begin{aligned}\rho '+\mathrm {R} '\cos \delta '&=x',&\rho ''+\mathrm {R} ''\cos \delta ''&=x'',\\\mathrm {R} '\sin \delta '&=a',&\mathrm {R} ''\sin \delta ''&=a'',\end{aligned}}$

${\begin{aligned}r'&={\sqrt {x'^{2}\,+a'^{2}}},\\r''&={\sqrt {x''^{2}+a''^{2}}}.\end{aligned}}$

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En combinant les équations 1 et 2, art. 112, on obtient les équations suivantes, exprimées d’après les symboles relatifs à la présente recherche :