Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/338

319

NOTE I.

Si l’on pose

(5)

${\frac {\mathrm {K} ^{2}}{f(1+\mu )}}=a(1-e^{2}),$

et

(6)

${\frac {2\mathrm {H.K} ^{2}}{f^{2}(1+\mu )^{2}}}=e^{2}-1,$

$a$ et $e$ étant de nouvelles constantes arbitraires, substituées à $\mathrm {K}$ et $\mathrm {H} ,$ l’équation du rayon vecteur devient

$r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(v-\pi )}}={\frac {p}{1+e\cos(v-\pi )}}$

qui, comme on le sait, est l’équation polaire d’une ellipse dans le cas où $e$ n’est ni égal à 1 ni plus grand que 1.

D’après la relation (5), et en remarquant que le $g$ de Gauss est égal à $\mathrm {K} t,$ c’est-à-dire que

$\mathrm {K} ^{2}={\frac {g^{2}}{t^{2}}},$

on en déduit,

${\frac {g^{2}}{t^{2}f(1+\mu )}}=p\,;$

d’où

$f={\frac {g^{2}}{t^{2}p(1+\mu )}},$

et enfin,

${\sqrt {f}}={\frac {g}{t.{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}.$

Ainsi ${\sqrt {f}}=k$ c’est-à-dire, qu’au point de vue dynamique, la constante $k$ de Gauss n’est autre chose que la racine carrée de l’intensité de l’attraction exercée par l’unité de masse, à l’unité de distance.

En remplaçant dans l’équation (3) les constantes $\mathrm {H}$ et $\mathrm {K}$ par leurs expressions en fonction de $a$ et $e,$ on a

$dt=\pm {\frac {1}{\sqrt {af(1+\mu )}}}.{\frac {r\,dr}{\sqrt {e^{2}-\left(1-{\dfrac {r}{a}}\right)^{2}}}}\,;$

pour intégrer cette expression, on introduit une quantité auxiliaire $u,$ telle que l’on ait

$e\cos u=1-{\frac {r}{a}},$  ou  $r=a(1-e\cos u),$