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NOTE I.
Si l’on pose
(5)
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et
(6)
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et
étant de nouvelles constantes arbitraires, substituées à
et
l’équation du rayon vecteur devient
![{\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(v-\pi )}}={\frac {p}{1+e\cos(v-\pi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d5173ece050ff7ba792e2f7cf0e5a8ab69bb25)
qui, comme on le sait, est l’équation polaire d’une ellipse dans le
cas où
n’est ni égal à 1 ni plus grand que 1.
D’après la relation (5), et en remarquant que le
de Gauss est
égal à
c’est-à-dire que
![{\displaystyle \mathrm {K} ^{2}={\frac {g^{2}}{t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cc93bbc82e55189cb32faee6529ce427dda059)
on en déduit,
![{\displaystyle {\frac {g^{2}}{t^{2}f(1+\mu )}}=p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64884e3a967441a8ad0f3605061f2a4804a2fdb8)
d’où
![{\displaystyle f={\frac {g^{2}}{t^{2}p(1+\mu )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98127dc36d69231da500e6bcd9c1472b50107bea)
et enfin,
![{\displaystyle {\sqrt {f}}={\frac {g}{t.{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f980b5f21ec44d9dad394b1ec5d74e60f7fc9a4e)
Ainsi
c’est-à-dire, qu’au point de vue dynamique, la constante
de Gauss n’est autre chose que la racine carrée de l’intensité de l’attraction exercée par l’unité de masse, à l’unité de distance.
En remplaçant dans l’équation (3) les constantes
et
par leurs
expressions en fonction de
et
on a
![{\displaystyle dt=\pm {\frac {1}{\sqrt {af(1+\mu )}}}.{\frac {r\,dr}{\sqrt {e^{2}-\left(1-{\dfrac {r}{a}}\right)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ed318457f4a2645730367384c5b12d50e2d609)
pour intégrer cette expression, on introduit une quantité auxiliaire
telle que l’on ait
ou
![{\displaystyle r=a(1-e\cos u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d044462bd16e216b17680f467ffc67e6755d013)